Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

44
;
0
cossin
sincos
000
000
kb
ju
iu
N
r
r
r
r
νν
νν
−
=
()
000
;cos;sin ubbN
νν
−
r
Уравнение касательной плоскости:
(x-x
0
) b sinv
0
– (y-y
0
) b cosv
0
+ (z-z
0
) u
0
=0
Но x
0
= u
0
cosv
0
; y
0
= u
0
sinv
0
; z
0
= bv
0
. Поэтому
x b sinv
0
- u
0
bsinv
0
cosv
0
- y bcosv
0
+ u
0
b sinv
0
cosv
0
+zu
0
– bv
0
u
0
=0.
Уравнение нормали:
0
0
0
00
0
00
cos
sin
sin
cos
u
bz
b
uy
b
ux
ν
ν
ν
ν
ν
−
=
−
−
=
−
Пример 2: Написать уравнение касательной плоскости к эллипсои-
ду, заданному каноническим уравнением
1
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
,
в точке M
0
(x
0
;y
0
;z
0
).
Решение:
F
x
=
;
2
2
0
a
x
F
y
=
2
0
2
b
y
; F
z
=
2
0
2
c
z
.
Уравнение касательной плоскости:
(x-x
0
)
2
0
2
a
x
+ (y-y
0
)
2
0
2
b
y
+ (z-z
0
)
2
0
2
c
z
=0│: 2
2
0
2
0
2
0
c
zz
b
yy
a
xx
++
=1,
учитывая, что
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0
=++
c
z
b
y
a
x
(точка M
0
лежит на эллипсоиде). 
                                                             r
                                   cosν 0     − u0 sin ν 0   i
                             r                               r
                             N = sinν 0        u0 cosν 0      j;
                                                             r
                                   0               b         k
r
N (b sin ν 0 ;−b cosν 0 ; u0 )
Уравнение касательной плоскости:
                 (x-x0) b sinv0 – (y-y0) b cosv0 + (z-z0) u0 =0
Но x0 = u0 cosv0 ; y0 = u0 sinv0; z0 = bv0. Поэтому
x b sinv0 - u0 bsinv0 cosv0 - y bcosv0 + u0 b sinv0 cosv0 +zu0 – bv0u0=0.

                           x − u0 cosν 0 y − u0 sinν 0 z − bν 0
Уравнение нормали:                      =             =
                             b sinν 0     − b cosν 0      u0

Пример 2: Написать уравнение касательной плоскости к эллипсои-
          ду, заданному каноническим уравнением
                                 x2 y2 z2
                                   +  + = 1,
                                 a2 b2 c2
в точке M0(x0;y0;z0).

                       2 x0         2 y0         2 z0
Решение:        Fx =        ; F y =      ; F z =      .
                       a2            b2          c2
Уравнение касательной плоскости:
                  2 x0             2 y0            2 z0
               (x-x0)  + (y-y 0 )       +  (z-z0 )      =0│: 2
                  a  2
                                    b2             c 2



                        xx0 yy 0 zz 0
                             + 2 + 2 =1,
                         a 2
                                  b      c
             x 2
                   y 2
                         z 2

учитывая, что 02 + 02 + 02 = 1 (точка M0 лежит на эллипсоиде).
             a     b     c




                                      44

Страницы