Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

47
Определение 1: Углом φ между линиями γ
1
и γ
2
называется угол
между касательными к этим линиям в точке M.
Обозначим через
δ
и
d
символы дифференцирования вдоль линии
γ
1
и γ
2
. Тогда
δ
r
r
и
r
d
r
- векторы касательных к линиям
1
γ
и
2
γ
в точке M.
По определению угол φ между линиями равен углу между векторами
δ
r
r
и
r
d
r
:
cosφ =
rrd
rrd
rr
r
r
δ
δ
.
Дифференцируя (1), получаем:
ν
drdurrd
u
r
r
r
+
= ;
δ
δ
ν
drurr
u
r
r
r
+
=
.
Тогда имеем:
cosφ =
2
2212
2
11
2
2212
2
11
221211
)(2)()(2)(
)(
dvvuudvdudvdu
vdvudvvduudu
γδδγδγγγγ
δ
γ
δ
δ
γ
δ
γ
++⋅++
+
+
+
. (2)
Замечание:
Если линия γ
1
совпадает с u- линией (то есть δv=0; δu=1,v=const),
а линия γ
2
– с линией v(то есть du=0; dv=1, u=const), то
cosφ =
2211
12
γγ
γ
(3)
Отсюда следует, что координатная сеть на поверхности ортогональна
(φ=
2
π
) ⇔ , когда в каждой точке этой поверхности γ
12
=0.
Определение 2:
Поверхность, имеющая площадь, называется квадри-
руемой.
В курсе математического анализа доказано, что квадрируемой явля-
ется поверхность F с краем, удовлетворяющая следующим трем условиям:
1)
F гомеоморфна замкнутому кругу;
2)
F является частью некоторой гладкой поверхности Ф;
3)
край поверхности F кусочно-гладкая линия.
В пространстве F
3
рассмотрим п.с.к. zy
x
O ,,, . Простейшим случаем
квадрируемой поверхности является поверхность, заданная явным уравне-
нием:
z=f(x,y),
где точка (x,y) описывает область D на плоскости Oxy, гомеоморфную
замкнутому кругу (рис.2). 
          Определение 1: Углом φ между линиями γ1 и γ2 называется угол
                        между касательными к этим линиям в точке M.

       Обозначим через δ и d символы дифференцирования вдоль линии
                 r    r
γ1 и γ2. Тогда δ r и dr - векторы касательных к линиям γ 1 и γ 2 в точке M.
                                                                          r
По определению угол φ между линиями равен углу между векторами δ r
    r
и dr :
                                                r r
                                               dr δr
                                        cosφ = r r .
                                              dr δ r
          Дифференцируя (1), получаем:
                          r r         r                      r   r   r
                         dr = ru du + rν dν ;           δr = ruδu + rν dν .
          Тогда имеем:
                                            cosφ =
                  γ 11 duδu + γ 12 (duδv + dvδu ) + γ 22δvdv
                                                                                   .   (2)
  γ 11 (du ) 2 + 2γ 12 dudv + γ 22 (dv) 2 ⋅ γ 11 (δu ) 2 + 2γ 12δuδv + γ 22 (dv) 2

 Замечание:
         Если линия γ1 совпадает с u- линией (то есть δv=0; δu=1,v=const),
а линия γ2 – с линией v(то есть du=0; dv=1, u=const), то
                                                   γ 12
                                    cosφ =                                             (3)
                                                  γ 11γ 22
          Отсюда следует, что координатная сеть на поверхности ортогональна
      π
(φ=       ) ⇔ , когда в каждой точке этой поверхности γ12=0.
      2
    Определение 2: Поверхность, имеющая площадь, называется квадри-
                        руемой.
      В курсе математического анализа доказано, что квадрируемой явля-
ется поверхность F с краем, удовлетворяющая следующим трем условиям:
         1) F гомеоморфна замкнутому кругу;
         2) F является частью некоторой гладкой поверхности Ф;
         3) край поверхности F кусочно-гладкая линия.
      В пространстве F3 рассмотрим п.с.к. O, x, y, z . Простейшим случаем
квадрируемой поверхности является поверхность, заданная явным уравне-
нием:
                                    z=f(x,y),
где точка (x,y) описывает область D на плоскости Oxy, гомеоморфную
замкнутому кругу (рис.2).



                                             47

Страницы