Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

49
Пусть φ =
),(
ν
rr
u
rr
∠
, тогда
[]
.
1cos1sin,
2
122211
2211
2
12
2211
2
γγγ
γγ
γ
γγϕϕ
ννν
−=
=−⋅⋅=−⋅⋅=⋅⋅= rrrrrr
uuu
rrrrrr
Таким образом,
2
122211
γγγ
−
=
[
]
.,
ν
rr
u
r
r
Тогда площадь поверхности
(
)
ν
,urr
r
r
=
можно вычислить по форму-
ле:
S(F)
=
[
]
ν
ν
dudrr
G
u
∫∫
r
r
, . (6)
§9. Вторая квадратичная форма поверхности.
Пусть F
0
–гладкая элементарная поверхность класса C
k
(k ≥ 3):
(
)
ν
,urr
r
r
=
, (1)
γ – гладкая линия на этой поверхности (рис.1):
r
r
=
(
)
(
)
(
)
ttur
ν
,
r
.
При бесконечно малом смещении точки M вдоль линии γ имеем:
ν
ν
drdurrd
u
r
r
r
+
=
;
Рис.1
F
0
ν
r
r
n
γ
u
u
r
ν
                             r r
        Пусть φ = ∠(ru , rν ) , тогда

       [rru , rrν ] = rru ⋅ rrν ⋅ sin ϕ = rru ⋅ rrν ⋅ 1 − cos 2 ϕ = γ 11 ⋅ γ 22 ⋅ 1 − γ 12
                                                                                             2

                                                                                                 =
                                                                                     γ 11γ 22
       = γ 11γ 22 − γ 12 .
                         2




      Таким образом,
                                                            r r
                             γ 11γ 22 − γ 122 = [ru , rν ].
                                  r r
      Тогда площадь поверхности r = r (u ,ν ) можно вычислить по форму-
ле:
                                                 r r
                                   S(F) =    ∫∫ [r , rν ]dudν .
                                             G
                                                 u
                                                                                                 (6)




                    §9. Вторая квадратичная форма поверхности.

        Пусть F0 –гладкая элементарная поверхность класса Ck (k ≥ 3):
                                 r r
                                 r = r (u ,ν ),                       (1)
        γ – гладкая линия на этой поверхности (рис.1):
                                 r r
                                r = r (u (t ),ν (t )) .
             При бесконечно малом смещении точки M вдоль линии γ имеем:
                         r                            r r         r
                         n                           dr = ru du + rν dν ;
                              r    ν
                              rν
                                        r
                                        ru
                                       u
                     γ
             F0
                                                 Рис.1




                                                 49

Страницы