Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

50
2
2
d
t
rd
r
=
}
.
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
du
d
rdudv
dud
rd
drdd
d
rd
d
du
rdud
dud
rd
dt
ud
rdudu
du
rd
uu
ν
ν
ννν
νν
ν
ν
ν
ν
r
r
r
r
876
r
r
r
r
++
+++⋅+⋅+⋅+⋅⋅=
Итак,
=
r
d
r
2
ν
ν
ν
νννν
2222
)(2)( drudrdrdudrdur
uuuu
r
r
r
r
r
+
+
+
+
,
(2)
где
=
uu
r
r
2
2
du
rd
r
;
=
uv
r
r
ν
ν
dud
rd
r
u
r
r
2
;
=
νν
r
r
2
2
ν
d
rd
r
;
Рассмотрим вектор нормали
[
]
ν
rrN
u
r
r
r
,= к поверхности F
0
. Его нор-
ма:
[
]
==
ν
rrN
u
r
r
r
,
2
122211
γγγ
−
.
Следовательно, единичный вектор
N
N
n
r
r
r
=
нормали равен:
[
]
2
122211
,
γγγ
ν
−
=
rr
n
u
r
r
r
. (3)
Здесь
n
r
- единичный вектор нормали к поверхности F
0
в точке (u,v).
Умножим (2) скалярно на
n
r
:
=
r
dn
r
r
2
}
}
}
22
)(2)(
22211211
νν
ννν
drndudrndurn
bbb
u
b
uu
rrrrrr
++
=
(4)
Введем обозначения:
=
11
b
=
uu
rn
r
r
2
122211
γγγ
ν
−
uuu
rrr
r
r
r
;
=
=
2112
bb
=
ν
u
rn
r
r
2
122211
γγγ
νν
−
uu
rrr
r
r
r
;
=
22
b
=
νν
rn
rr
2
122211
γγγ
ννν
−
rrr
u
r
r
r
. (5)
Равенство (4) примет вид:
()
(
)
2
2212
2
11
2
2
νν
dbdudbdubrdn ++=
r
r
. (6) 
         r
      d 2r
           =
      dt 2
      r                      r          67   0
                                               8    r
  d r
    2
                  r du d r
                       2   2
                                        r du d 2 r          r
= 2 ⋅ du ⋅ du + ru ⋅ 2 +       ⋅ dνdu + ru ⋅     + 2 dνdν + rν d 2ν +
  du                  dt dudν                 dν dν
                  } 0
      2r
   d r          r dν
+        dudv + rν .
  dνdu             du
  Итак,
                         r r                r          r             r         r
                     d 2 r = ruu (du ) 2 + 2ruν dudν + rνν (dν ) 2 + ru d 2u + rν d 2ν ,
                                               (2)
              r                 r            r
      r d r r r d 2r
                 2
                                    r     d 2r
  где ruu =      ; ruv = rνu      ; rνν =       ;
            du 2             dudν         dν
                                       r r r
                                              2


     Рассмотрим вектор нормали N = [ru , rν ] к поверхности F0. Его нор-
ма:
                          r       r r
                         N = [ru , rν ] = γ 11γ 22 − γ 122 .
                                                       r
                                               r N
  Следовательно, единичный вектор n = r нормали равен:
                                                     N
                                           r r
                               r
                              n=
                                         [ru ,r ν ]
                                                        .              (3)
                                       γ 11γ 22 − γ 12
                                                     2

        r
  Здесь n - единичный вектор
                          r         нормали к поверхности F0 в точке (u,v).
Умножим (2) скалярно на n :
                                              b =b
                r r rr    }b         11
                                              }
                                              rr
                                                     12
                                                          }b
                                                          21

                                                          rr
                                                                    22



                n d 2 r = n ruu (du ) 2 + 2n ruν dudν + n rνν (dν ) 2  (4)
  Введем обозначения:
                                   rrr                                  rrr
                     rr           ru rν ruu                   rr       ru rν ruν
               b11 = n ruu =                    ; b12 = b21 = n ruν =                ;
                                 γ 11γ 22−γ 122                       γ 11γ 22−γ 122
               rrr
      rr      ru rν rνν
b22 = n rνν =              .                                                               (5)
             γ 11γ 22−γ 12
                         2


  Равенство (4)
              r примет
                    r       вид: 2
              n d 2 r = b11 (du ) + 2b12 dudν + b22 (dν ) .
                                                         2

                                                                                           (6)




                                                50

Страницы