Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

51
Определение 1: Квадратичная форма в правой части (6), опреде-
ленная на векторном пространстве T
M
, касательном
к поверхности F
0
в точке M, называется второй
квадратичной формой поверхности.
Замечание:
Для плоских поверхностей
ν
r
r
=const,
u
r
r
=const, поэтому
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
;0
;0
;0
ν
νν
u
uu
r
r
r
r
r
r
следовательно, .0
221211
=
=
=
bbb
§10. Нормальная кривизна линии на поверхности.
Пусть линия γ на поверхности F
0
(гладкой элементарной поверхно-
сти класса C
k
, k ≥3), заданной уравнением
F
0
:
(
)
ν
,urr
r
r
=
, (1)
задана уравнениями:
γ: u=u(s); v=v(s),
где s – естественный параметр. Единичный вектор касательной к линии γ в
точке M:
=
τ
r
=
ds
rd
r
u
r
r
ds
du
ds
d
r
ν
ν
r
+
. (2)
По формуле Френе (раздел I, §5, формула 3)
vk
ds
d
r
r
=
τ
, где
ds
d
N
τ
r
r
= ─
вектор кривизны линии γ;
Nk
r
= ─ кривизна линии γ;
N
N
v
r
r
r
=
─единичный
вектор главной нормали к кривой γ
(
)
N
r
r
⊥
τ
.
Продифференцируем равенство (2):
=
ds
d
τ
r
     Определение 1: Квадратичная форма в правой части (6), опреде-
                 ленная на векторном пространстве TM, касательном
                 к поверхности F0 в точке M, называется второй
                 квадратичной формой поверхности.
                                             r        r
     Замечание: Для плоских поверхностей rν =const, ru =const, поэтому
                  r
                ⎧ruu = 0;
                ⎪r
                ⎨rνν = 0;
                ⎪rr = 0;
                ⎩ uν
                следовательно, b11 = b12 = b22 = 0.



            §10. Нормальная кривизна линии на поверхности.

       Пусть линия γ на поверхности F0 (гладкой элементарной поверхно-
сти класса Ck, k ≥ 3), заданной уравнением
                                   r r
                              F0: r = r (u ,ν ),                    (1)
задана уравнениями:
                                  γ: u=u(s); v=v(s),
где s – естественный параметр. Единичный вектор касательной к линии γ в
точке M:
                          r
                       r dr r du r dν
                      τ=    = ru    + rν    .                            (2)
                         ds      ds      ds      r
                                                dτ    r       r dτr
     По формуле Френе (раздел I, §5, формула 3)    = kv , где N =    ─
                                                ds       r        ds
                              r                    r N
вектор кривизны линии γ; k = N ─ кривизна линии γ; v = r ─единичный
                                                        N
                                       r
вектор главной нормали к кривой γ (τ ⊥ N ).
                                   r
     Продифференцируем равенство (2):
                                       r
                                      dτ
                                         =
                                      ds




                                    51

Страницы