Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

53
Замечание: 1) В формуле
(
)
vknk
n
r
r
=
вектор n
r
- единичный вектор
нормали к поверхности;
v
r
- единичный вектор глав-
ной нормали к кривой γ (рис.1).
2) Обозначим
(
)
vn
r
r
,
∠
=
θ
. Тогда ,cos vn
r
r
⋅=
θ
следовательно,
.cos
θ
kk
n
=
3) Если γ – нормальное сечение поверхности (то есть се-
чение поверхности плоскостью, проходящей через нор-
маль
n
r
к поверхности в точке M), то vn
r
r
= или
vn
r
r
−
=
(рис.2). Тогда
kk
n
=
или .kk
n
−
=
Формулу (3) можно записать в виде:
=
n
k
2
2212
2
11
2
2212
2
11
)(2)(
)(2)(
νγνγγ
ν
ν
dduddu
dbdudbdub
++
+
+
(4)
Рис.2
Так как
ν
ν
drdurrd
u
r
r
r
+
=
, то направление касательной прямой к ли-
нии γ в точке M определяется парой чисел du, dv с точностью до пропор-
циональности, а однозначно – отношением
ν
d
du
или
du
d
ν
(du и dv одновре-
менно в нуль не обращаются). Тогда из (4) с учетом обозначения
=
ν
d
du
имеем:
=
n
k
2212
2
11
2212
2
11
2
2
γλγλγ
++
+
+
bbb
(5)
γ
M
F
0
v
n
r
r
=
v
n
r
r
−
=
                                             r r                 r
     Замечание: 1) В формуле k n = n (kv ) вектор n - единичный вектор
                                             r
                   нормали к поверхности; v - единичный вектор глав-
                   ной нормали к кривой γ (рис.1).
                                        r r                 r r
                 2) Обозначим θ = ∠(n , v ) . Тогда cos θ = n ⋅ v ,
            следовательно,
                                                k n = k cosθ .
                 3) Если γ – нормальное сечение поверхности (то есть се-
               чение поверхности
                      r             плоскостью, проходящей rчерезr нор-
               маль
               r     rn к поверхности в точке M), то n = v или
               n = −v (рис.2). Тогда
                          k n = k или k n = −k .
Формулу (3) можно записать в виде:
                                      b11 (du ) 2 + 2b12 dudν + b22 (dν ) 2
                                 kn =
                                      γ 11 (du ) 2 + 2γ 12 dudν + γ 22 (dν ) 2
                                          (4)

                          r   r
                          n = v

                      M

             γ             r    r
                           n = −v

                 F0




                                            Рис.2
                  r   r      r
      Так как dr = ru du + rν dν , то направление касательной прямой к ли-
нии γ в точке M определяется парой чисел du, dv с точностью до пропор-
                                                     du     dν
циональности, а однозначно – отношением                 или    (du и dv одновре-
                                                     dν     du
менно в нуль не обращаются). Тогда из (4) с учетом обозначения
     du
λ=      имеем:
     dν
                           b11λ2 + 2b12 λ + b22
                      kn =                                                       (5)
                           γ 11λ2 + 2γ 12 λ + γ 22

                                          53

Страницы