Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

55
Рис.3
Но
n
PM
κ
1
=
r
.
Следовательно,
.
1
τ
κ
r
r
n
PM ±=
.
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+±=+
ds
d
r
ds
du
r
k
ryrx
u
n
u
ν
νν
rrrr
Но векторы
u
r
r
и
ν
r
r
не коллинеарны, следовательно,
ds
du
x
n
κ
1
±=
;
ds
d
y
n
ν
κ
1
±=
.
В известную формулу (3):
2
2212
2
11
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ds
d
b
ds
d
ds
du
b
ds
du
bk
n
νν
подставим
n
kx
ds
du
±= ; :
n
ky
ds
d
±=
ν
12
2
2212
2
11
±
=
+
+
ybxybxb (6)
Так как нас интересуют только вещественные линии, то возможны
следующие случаи:
a)
0
2
122211
>−=Δ bbb , следовательно, по Т §32 (геом., ч.1 А.-Б)
относительно линии 2-го порядка нет асимптотических на-
x
τ
r
M
P
γ
F
0
y
                                                  γ
                                 F0



                                          M                  y
                                                  r
                                                  τ   P



                                 x
                                          Рис.3

       r     1
Но MP =           .
             κn
                     r     1 r
     Следовательно, MP = ±   τ.
                                     κn
                        r     r       1 ⎛ r du r dν ⎞
                      xru + yrν = ±        ⎜ ru + rν    ⎟.
                                       k n ⎝ ds      ds ⎠
                r r
     Но векторы ru и rν не коллинеарны, следовательно,
                                1 du            1 dν
                        x=±            ; y=±            .
                                κ n ds          κ n ds
     В известную формулу (3):
                                             du dν          ⎛ dν ⎞
                                      2                              2
                           ⎛ du ⎞
                 k n = b11 ⎜ ⎟ + 2b12                 + b22 ⎜ ⎟
                           ⎝ ds ⎠            ds ds          ⎝ ds ⎠
               du                    dν
     подставим    = ± x kn ;            = ± y kn :
               ds                    ds
                             b11 x 2 + 2b12 xy + b22 y 2 = ±1            (6)

     Так как нас интересуют только вещественные линии, то возможны
следующие случаи:
       a) Δ = b11b22 − b12 > 0 , следовательно, по Т §32 (геом., ч.1 А.-Б)
                          2


          относительно линии 2-го порядка нет асимптотических на-

                                           55

Страницы