Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 52 стр.

      r                        r              r
  d 2 r du du r d 2u d 2 r dν du d 2 r du dν
= 2 ⋅ ⋅ + ru ⋅ 2 +                  ⋅    +               +
  du ds ds         ds      dudν ds ds dνdu ds ds
             r
  r d 2ν d 2 r dν dν r ⎛ du ⎞         r du dν r ⎛ dν ⎞
                                  2                        2

+ rν 2 + 2           = ruu ⎜ ⎟ + 2ruν         + rνν ⎜ ⎟ +
     ds   du ds ds         ⎝ ds ⎠       ds ds       ⎝ ds ⎠
  r d 2u r d 2ν
+ ru 2 + rν 2 .
     ds     ds
То есть
                     r du dν r ⎛ dν ⎞ r d 2u r d 2ν
                           2                       2
     r r ⎛ du ⎞
    kv = ruu ⎜ ⎟ + 2ruν           + rνν ⎜ ⎟ + ru 2 + rν 2 .
             ⎝ ⎠ r
              ds         ds  ds         ⎝ ds ⎠      ds ds
Умножая cкалярно на n и учитывая обозначения (5) §9, имеем:
          r r b11 (du ) 2 + 2b12 dudν + b22 (dν ) 2
         n{(kv ) =                                          (3)
           k      n
                                ds 2



                                           du dν       ⎛ dν ⎞
                                       2                   2
                                ⎛ du ⎞
                      k n = b11 ⎜ ⎟ + 2b12       + b22 ⎜ ⎟ .    (3/)
                                ⎝ ds ⎠     ds ds       ⎝ ds ⎠
                                           r r
Определение 1: Число k n = n (kv ) называется нормальной кривиз-
            ной линии γ ∈ F0 в точке M.




                       r
          r            v
          n                    r
                           ν   r
                  θ


                                   u
              γ



                                           Рис.1




                                           52