Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

41
r
r
r
r
=
(u(t); v(t))
или
u=u(t); v=v(t); t
∈
I. (2)
Пусть точке M
0
соответствует параметр t
0
:
u
0
= u(t
0
); v
0
= v(t
0
).
Найдем вектор касательной к линии γ
r
r
r
r
=
(u(t); v(t)) в точке M
0
:
u
r
d
t
rd
r
r
=
d
t
d
r
d
t
du
ν
ν
+
, (3)
где
ν
rr
u
r
r
,
вычислены в точке M
0
(u
0 ,
v
0
); а производные
dt
du
и
dt
d
ν
- в точке
t
0
.
Из (3)
⇒, что вектор
d
t
rd
r
параллелен плоскости
(
)
ν
rrM
u
r
r
,,
0
, следова-
тельно, касательная
(M
0
;
dt
rd
r
) лежит в этой плоскости.
Обратно: пусть (M
0
;
a
r
) – любая прямая плоскости
(
)
ν
rrM
u
r
r
,,
0
. Тогда
ν
α
rra
u
r
r
r
+
=
, (4)
где
0≠+
β
α
.
Рассмотрим линию γ
1
на поверхности F, заданную уравнениями:
u=u
0
+αt; v=v
0
+βt,
t
∈I│ (u, v)
∈
G, или
r
r
r
r
=
( u
0
+αt; v
0
+βt).
Вектор касательной
u
r
d
t
rd
r
r
=
α
ν
r
r
+
β
)4(
=
a
r
.
Следовательно, (M
0
;
a
r
) является касательной к линии γ
1
.
Теорема доказана.
Определение 1: Плоскость
(
)
ν
rrM
u
r
r
,,
0
называется касательной
плоскостью к поверхности F в точке M
0
.
Определение 2: Двумерное векторное направляющее подпростран-
ство касательной плоскости называется
каса-
тельным векторным подпространством
0
M
T
к по-
верхности F в точке M
0
. 
                                   r r
                                   r = r (u(t); v(t))
       или
                                u=u(t); v=v(t); t ∈ I.                    (2)
       Пусть точке M0 соответствует параметр t0:
                              u0 = u(t0); v0 = rv(t0).r
       Найдем вектор касательной к линии γ r = r (u(t); v(t)) в точке M0:
                                  r
                                 dr r du         dν
                                    = ru    + rν    ,                        (3)
                                 dt      dt      dt
       r r                                                  du dν
 где ru , rν вычислены в точке M0 (u0 ,v0); а производные      и    - в точке
                                                            dt   dt
 t0.
                             r
                            dr                              r r
     Из (3) ⇒ , что вектор      параллелен плоскости (M 0 , ru , rν ) , следова-
                           rdt
                         dr
тельно, касательная (M0;     ) лежит в этой плоскости.
                         dtr                                    r r
     Обратно: пусть (M0; a ) – любая прямая плоскости (M 0 , ru , rν ) . Тогда
                             r     r    r
                             a = αru + βrν ,                                 (4)
где α + β ≠ 0 .
       Рассмотрим линию γ1 на поверхности F, заданную уравнениями:
                               u=u0 +αt; v=v0 +βt,
        t ∈ I│ (u, v)∈ G, или r r
                              r = r ( u0 +αt; v0 +βt).
       Вектор касательной
                                 r
                                dr r        r (4) r
                                   = ru α + rν β = a .
                            r   dt
       Следовательно, (M0; a ) является касательной к линии γ1.
       Теорема доказана.
                                            r r
       Определение 1: Плоскость (M 0 , ru , rν ) называется касательной
                    плоскостью к поверхности F в точке M0.

       Определение 2: Двумерное векторное направляющее подпростран-
                     ство касательной плоскости называется каса-
                     тельным векторным подпространством TM к по-         0


                       верхности F в точке M0.




                                       41

Страницы