Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

59
существуют 2 и только 2 главных направления. Относительно
окружности любое направление плоскости является главным.
Определение 1: Главные направления индикатрисы Дюпена в точке
M
0
поверхности F
0
называются главными направ-
лениями поверхности F
0
в этой точке (рис.3).
Замечание: В эллиптической и гиперболической точке существует
единственная пара главных направлений. В омбиличе-
ской точке любое направление является главным.
Рис.3
Пусть в точке M
0
главные направления определяются векторами
.
δνδδ
ν
ν
ν
rurr
drdurrd
u
u
rrr
r
r
r
+=
+
=
Тогда векторы
r
d
r
и
r
r
δ
ортогональны и сопряжены (по определению
главных направлений) относительно индикатрисы Дюпена, определяемой
уравнением:
12
2
2212
2
11
±
=
++ ybxybxb , т.е.
0=⋅
r
r
d
r
r
δ
; (- условие ортогональности)
0
22211211
=
+
++
ν
δν
νδ
ν
δ
dbudbdubudub . (-условие сопряженно-
сти
)
Теорема 1: Для того, чтобы векторы
r
d
r
и
r
r
δ
определяли главные
направления в точке M поверхности F
0
, ⇔ , чтобы они
удовлетворяли условиям
0
=
⋅
r
r
d
rr
δ
и 0
=
⋅
r
nd
r
r
δ
, (2)
M
0
r
r
δ
rd
r
2
γ
1
γ
r
r
δ
rd
r
M
0
F
0
       существуют 2 и только 2 главных направления. Относительно
  окружности любое направление плоскости является главным.

     Определение 1: Главные направления индикатрисы Дюпена в точке
                     M0 поверхности F0 называются главными направ-
                     лениями поверхности F0 в этой точке (рис.3).

     Замечание: В эллиптической и гиперболической точке существует
                единственная пара главных направлений. В омбиличе-
                ской точке любое направление является главным.



                                                          F0
            γ1            γ2

                                                                M0    r
                 M0                                                  δr
            r              r                                    r
           dr             δr                                   dr




                                   Рис.3

      Пусть в точке M0 главные направления определяются векторами
                                     r r         r
                                    dr = ru du + rν dν
                                     r r         r
                                    δr = ruδu + rν δν .
                      r        r
Тогда векторы dr и δr ортогональны и сопряжены (по определению
главных направлений) относительно индикатрисы Дюпена, определяемой
уравнением:
             b11 x 2 + 2b12 xy + b22 y 2 = ±1 , т.е.
                       r r
                      dr ⋅ δr = 0 ; (- условие ортогональности)
      b11duδu + b12 duδν + b21dνδu + b22 dνδν = 0 . (-условие сопряженно-
                                         сти)
                                                    r          r
     Теорема 1: Для того, чтобы векторы dr и δr определяли главные
                направления в точке M поверхности F0 , ⇔ , чтобы они
                удовлетворяли условиям
                      r r            r r
                    d r ⋅ δ r = 0 и dn ⋅ δ r = 0 ,                (2)



                                           59

Страницы