Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

60
(где nd
r
- дифференциал единичного вектора нормали,
соответствующий смещению
r
r
δ
точки M).
Доказательство:
0=
u
rn
r
r
. Дифференцируя по u , получаем:
0
=
+
uuuu
rnrn
r
r
r
r
.
Но
11
brn
uu
=
r
r
(см. формулы (5) §9), следовательно,
uu
rnb
r
r
−
=
11
Дифференцируем по
0:
=
+
νν
ν
uu
rnrn
r
r
r
r
0
12
=
−=
ν
ν
rn
rnb
u
r
rr
0=+
νν
uu
rnrn
r
r
r
r
ν
rnb
u
r
r
−=
12
νν
νννν
rnb
rnrn
rr
rrrr
−=
=+
22
0
Таким образом,
νννν
rnbrnrnbbrnb
uuuu
r
r
r
r
r
r
r
r
−
=
−
=
−
=
=
−=
22211211
;;
(3)
Подставим (3) в условие сопряженности:
⋅
+
4434421
r
r
r
nd
u
dndun )(
ν
ν
43421
r
r
r
r
u
rur
δ
ν
ν
δ
+
( =0,
Таким образом,
0
=
⋅
r
nd
r
r
δ
–эквивалентно условию сопряженности.
Теорема доказана.
Теорема 2: (Родрига). Для того, чтобы направление
r
d
r
в точке M
поверхности (1) было главным, необходимо и доста-
точно, чтобы
rdknd
n
r
r
−
=
(4)
где k
n
– нормальная кривизна по направлению
r
d
r
.
Доказательство:
Пусть
r
d
r
r
r
δ
⊥
()
MM
TrdTr
∈
∈
r
r
;
δ
,-два главных направления в
точке M.
()
ndnndnnnndndunnd
u
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⊥
⇒
=
⋅
=
⋅
=+= 0;1;1;
ν
ν
;
Таким образом,
ndnnd
r
r
r
⇒⊥ принадлежит касательному векторно-
му подпространству
M
T . Тогда из (2) ⇒
r
dnd
r
r
λ
=
. Найдем
λ
. 
                             r
                   (где dn - дифференциал единичного
                                               r     вектора нормали,
                   соответствующий смещению δr точки M).

 Доказательство:
    rr
   n ru = 0 . Дифференцируя по u , получаем:
                                        r r rr
                                        nu ru + n ruu = 0 .
    rr                                                                rr
Но n ruu = b11 (см. формулы (5) §9), следовательно, b11 = − nu ru
                              rr     rr
Дифференцируем по         ν : nν ru + n ruν = 0
               rr
      b12 = −nν ru
        r
      nrν = 0
      r r rr
      nu rν + n ruν = 0
               rr
      b12 = −nu rν
      r r rr
      nν rν + n rνν = 0
               rr
      b22 = −nν rν
      Таким образом,
                           rr                   rr        rr             rr
                   b11 = − nu ru ; b12 = b21 = −nν ru = − nu rν ; b22 = −nν rν       (3)
      Подставим (3) в условие сопряженности:
                        r        r        r       r
                      (nu du + nν dν ) ⋅ (ruδu + rν δν =0,
                       14  42r 44  3 142r 43
                              dn               δr
                      r r
      Таким образом, dn ⋅ δr = 0 –эквивалентно условию сопряженности.
Теорема доказана.
                                                                            r
      Теорема 2: (Родрига). Для того, чтобы направление dr в точке M
                  поверхности (1) было главным, необходимо и доста-
                  точно, чтобы
                                r         r
                              dn = − k n dr                       (4)
                                                                                 r
                     где kn – нормальная кривизна по направлению dr .



      Доказательство:
                 r       r r           r
       Пусть dr ⊥ δr (δr ∈ TM ; dr ∈ TM ),-два главных направления в
                        точке M.
       r r         r       r
                              (   r r        r r          r    r
      dn = nu du + nν dν ; n = 1; n ⋅ n = 1; n ⋅ dn = 0 ⇒ n ⊥ dn ;         )
                       r r        r
     Таким образом, dn ⊥ n ⇒ dn принадлежит касательному векторно-
                                        r     r
му подпространству TM . Тогда из (2) ⇒ dn = λdr . Найдем λ .


                                            60

Страницы