Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

61
⋅
ds
rd
r
=
ds
nd
r
/
ds
rd
r
λ
;
⋅
ds
nd
r
λ
=
ds
rd
r
321
r
r
1=
⋅
ds
rd
ds
rd
;
Таким образом,
⋅=
ds
nd
r
λ
=
ds
rd
r
(
+⋅
ds
du
du
nd
r
ds
d
d
nd
ν
ν
⋅
r
)(
+
ds
du
r
u
r
ds
d
r
ν
ν
r
)
=
λ
(
ds
du
du
nd
⋅
r
)(
ds
du
du
rd
⋅
r
) ++
ds
d
r
ds
du
n
u
ν
ν
rr
+
ds
du
r
ds
d
n
u
rr
ν
ν
⋅
ds
d
n
ν
ν
r
=
ds
d
r
ν
ν
r
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
2212
2
11
2
ds
d
b
ds
d
ds
du
b
ds
du
b
νν
[
]
10),3(
=
.
n
k
Прямая теорема доказана.
Пусть выполняется (4). Докажем, что
r
d
r
определяет главное направ-
ление. Выберем в
M
T вектор
r
r
, ортогональный
r
d
r
, тогда
0
=
⋅
r
r
d
r
r
δ
.
Согласно (4)
(
)
00; =⋅⇒
=
−
=
−= rndrrkdrndrkdnd
r
r
r
r
r
r
r
r
.
Таким образом, выполнены равенства (2), следовательно, по T1,
r
d
r
задает главное направление.
Теорема доказана.
(4) –
формула Родрига.
Определение 2: Нормальные кривизны по главным направлениям в
точке M поверхности называются
главными кри-
визнами поверхности в точке M.
Число
k
в формуле Родрига – нормальная кривизна по главному на-
правлению
r
d
r
, следовательно,
k
– главная кривизна поверхности в точке
M.
Запишем формулу (4) подробно:
kdndun
u
−=+
ν
ν
r
r
(
+
dur
u
r
ν
ν
dr
r
)/ ·
ν
rr
u
r
r
⋅
/
Умножим на
u
r
r
:
{
kdrndurn
b
u
b
u
u
−=⋅+⋅
−
−
ν
ν
12
11
r
r
321
r
{
kdur
u
−
11
2
γ
r
{
ν
γ
ν
drr
u
12
r
r
Умножим на
ν
r
r
:
{
+
−
durn
b
u
12
ν
rr
{
kdrn
b
−=
−
ν
νν
22
r
r
{
kdurr
u
−
12
γ
ν
r
r
{
ν
γ
ν
dr
22
2
r
. 
                            r    r    r               r r        r r
                           dr dn     dr              dn dr      dr dr
                              ⋅/   =λ ;                ⋅   =λ     ⋅ ;
                           ds ds     ds              ds ds      ds23
                                                                1  ds
                                                                 =1

      Таким образом,
                 r r    r        r
                dn dr  dn du dn dν r du r dν
             λ = ⋅ =( ⋅ +          ⋅    )( ru + rν )
            r   ds ds
                    r  du  ds  d ν   ds      ds    ds
           dn du dr du    r du r dν r dν r du r dν
      λ = ( ⋅ )( ⋅ ) + nu rν         + nν    ru  + nν    ⋅
           du ds du ds      ds ds         ds ds       ds
r dν
rν    =
   ds
        ⎛ ⎛ du ⎞         du dν         dν ⎞ ⎞ [( 3),10 ]
                  2                        2
                                     ⎛
   = − ⎜⎜ b11 ⎜ ⎟ + 2b12       + b22 ⎜ ⎟ ⎟⎟ = k n .
        ⎝ ⎝ ⎠  ds        ds ds       ⎝ ds ⎠ ⎠
      Прямая теорема доказана.
                                                 r
      Пусть выполняется (4). Докажем, что dr определяет главное направ-
                              r                     r
ление. Выберем в TM вектор δr , ортогональный dr , тогда
                                     r r
                                    dr ⋅ δ r = 0 .
                    r       r r r              r r        r r
      Согласно (4) dn = − kdr ; dn δr = (− kdr )δr = 0 ⇒ dn ⋅ δr = 0 .
  r Таким образом, выполнены равенства (2), следовательно, по T1,
dr задает главное направление.
      Теорема доказана.
        (4) – формула Родрига.

      Определение 2: Нормальные кривизны по главным направлениям в
                    точке M поверхности называются главными кри-
                    визнами поверхности в точке M.

     Число k в формуле Родрига – нормальная кривизна по главному на-
             r
 правлению dr , следовательно, k – главная кривизна поверхности в точке
 M.
     Запишем формулу (4) подробно:
      r         r              r       r         r r
      nu du + nν dν = −k ( ru du + rν dν ) / · ru /⋅ rν
                       r
      Умножим на ru :
      r             r r              r           rr
      nu ⋅ r u du + nν ⋅ ru dν = −k ru 2 du − k ru rν dν
      123           {                {           {
        −b            −b   12        γ   11       γ       12
              11
                       r
      Умножим на rν :
      rr          rr             rr          r
      nu rν du + nν rν dν = −k ru rν du − k rν 2 dν .
      {           {              {           {
       −b12        − b22          γ 12             γ 22




                                              61

Страницы