Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Подаева Н.Г - 62 стр.

      Таким образом,
                      (b 11
                            − kγ 11 )du + (b12 − kγ 12 )dν = 0, ⎫
                                                                ⎬                   (5)
                      (b 12
                            − kγ 12 )du + (b22 − kγ 22 )dν = 0.⎭
                                                                        r
      (5)-условия для определения главного направления dr (du , dν ) .

      Определение3: Линия γ называется линией кривизны , если направ-
                      ление её касательной в ∀Μ ∈ γ является главным
                      направлением в этой точке.
      Рассмотрим систему (5) двух линейных   r однородных уравнений с не-
                               r
известными du , dν . Так как dr (du , dν ) ≠ 0 , то (5) имеет ненулевое ре-
шение, следовательно, её определитель равен нулю:
                                         b11 − kγ 11   b12 − kγ 12
                                                                     = 0,           (6)
                                         b21 − kγ 21   b22 − kγ 22
      или
              γ 11 γ 12 ⎛ γ 11 b12 b11 γ 12    ⎞   b b
         k2            −⎜          +           ⎟k + 11 12 = 0 .                      (7)
              γ 21 γ 22 ⎜⎝ γ 21 b22 b21 γ 22   ⎟   b21 b22
                                               ⎠

      Следовательно, решения уравнения (7) – это главные кривизны k1 и
k 2 в точке M ∈ F0.

                                                                      k1 + k 2
      Определение 4: Полусумма главных кривизн H =                             называет-
                                                                         2
                     ся средней кривизной поверхности в точке M.
      Из уравнения (7) по теореме Виета имеем:
                            γ 11 b12 b11 γ 12
                                     +
                           1 21 22 b21 γ 22
                            γ    b
                        H=                     .                                     (8)
                           2 γ 11γ 22 − γ 12
                                             2




      Определение 5: Произведение главных кривизн

                                  K = k1 ⋅ k 2
      называется полной ( или гауссовой) кривизной поверхности в точке
                    M.

Из (7) имеем:



                                               62