Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

115
непрерывно дифференцируемо в точке
()
n
tttt ,,,
21
K и А – его мат-
рица Якоби;
2)
f – отображение X ⊂
n
R → Y ⊂
n
R , определяемое по формулам
(
)
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,,,,
,
,,,,
,,,,
21
2122
2111
nnn
n
n
xxxfy
xxxfy
xxxfy
K
LLLLLLLL
K
K
,
непрерывно дифференцируемо в точке
()
n
xxxx ,,,
21
K , соответст-
вующей точке
()
n
tttt ,,,
21
K при отображении ϕ, u B – его матрица
Якоби.
Тогда композиция отображений
(
)
(
)
(
)()
()()()()
()()()()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
ϕϕϕ=
ϕϕϕ=
ϕϕϕ=
ϕ
nnnnnn
nnnn
nnnn
tttttttttfy
tttttttttfy
tttttttttfy
f
,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,
:
21212211
2121221122
2121221111
KKKK
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
KKKK
KKKK
o
непрерывно дифференцируема в точке
(
)
n
tttt ,,,
21
K и её матрица Яко-
би С
= ВА, а ABC detdetdet
⋅
=
.
Пример 6.5.1. Построить композицию отображений ϕof , про-
верить свойства матриц Якоби и якобианов, если
()
⎩
⎨
⎧
−=
+=
ϕ
,
:
2
yxv
yxu
⎩
⎨
⎧
−=
+=
.
:
vuq
vup
f
Найдём матрицы Якоби и якобианы указанных отображений
()()
,
22
11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
=
yxyx
A
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
11
11
B .
(
)
yxA −−= 4det , 2det −=B .
Составим композицию отображений
(
)
(
)
()()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−+=
−++=
ϕ
.
,
:
2
2
yxyxq
yxyxp
f
o
Найдём матрицу Якоби композиции
(
)
(
)
() ()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−−
−−−+
=
yxyx
yxyx
C
2121
2121
,
()
[]
(
)
[
]
(
)
yxyxyxC −=−−−−+= 82121det
22
.
Проверим равенства
С = ВА и ABC detdetdet
⋅
=
:

Страницы