Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

116
()()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
yxyx
BA
22
11
11
11
()
(
)
() ()
C
yxyx
yxyx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−−
−−−+
=
2121
2121
,
(
)
(
)
(
)( )
.det842detdet CyxyxAB =−=−−−=
Теорема 6.5.2.
Пусть
1) ϕ – взаимно-однозначное непрерывно-дифференцируемое
отображение множеств
⊂X
n
R и ⊂Y
n
R с матрицей Якоби А;
2) обратное отображение
1−
ϕ также непрерывно диффе-
ренцируемо и его матрица Якоби равна В.
Тогда
1)
E
A
B
B
A
=
⋅
=
⋅ , 2) 1detdetdetdet =⋅=⋅ ABBA.
Пример 6.5.2. Является ли взаимно-однозначным отображение
⎩
⎨
⎧
=
=
ϕ
−
+
yx
yx
ev
eu
,
: на множестве
2
R ? Если да, то найти и проверить свой-
ства матриц Якоби прямого и обратного отображений.
Проверим взаимную однозначность отображения, т. е. убедим-
ся, что любым двум различным точкам из
2
R соответствуют различ-
ные точки из
X = {(u, v): u > 0, v >0}.
Возьмём две разные точки
(
)
111
, yxМ и
(
)
222
, yxМ , найдём
условие, при котором они переходят в одну и ту же точку. Получим
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎩
⎨
⎧
−=−
+=+
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
−−
++
.
,,
,
21
21
2211
2211
2211
2211
yy
xx
yxyx
yxyx
ee
ee
yxyx
yxyx
Найдём матрицу Якоби и якобиан заданного отображения
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−−
++
yxyx
yxyx
ee
ee
A
,
x
eA
2
2det −= .
Найдём обратное отображение
(
)
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
+=
ϕ
−
,lnln
,lnln
:
2
1
2
1
1
vuy
vux
где
0,0 >> vu
.
Найдём матрицу Якоби и якобиан обратного отображения
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
vu
vu
B
2
1
2
1
2
1
2
1
,
uv
B
2
1
det −= .
Тогда
(
)
(
)
() ()
.
10
01
2
1
2
1
2
1
2
1
E
ee
ee
ee
ee
AB
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−−+−
−−+−
−−
++

Страницы