Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

119
3)
()
0
0
=
α
MF; 4)
(
)
()
DF F F
Dy y y
m
m
M
12
12
0
0
,,,
,,,
K
K
≠
.
Тогда найдётся такая окрестность точки
0
М , в которой су-
ществует единственная совокупность неявных функций
()
n
xxxfy ,,,
21
K
αα
= , определяемых системой (6.6.1), причём:
а)
(
)
00
2
0
1
0
,,,
n
xxxfy K
αα
= ;
б) функции
(
)
n
xxxfy ,,,
21
K
αα
= непрерывны вместе со своими
частными производными в окрестности точки
0
М .
Как можно найти частные производные совокупности неявных
функций, определяемых системой уравнений (6.6.1)? Предполагая, что
в систему (6.6.1) вместо переменных у
а
подставлены её решения
()
n
xxxfy ,,,
21
K
αα
= , продифференцируем её по некоторой перемен-
ной
i
x , в результате получим систему m тождеств
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.0
,0
,0
1
1
21
1
22
11
1
11
i
m
m
m
i
m
i
m
i
m
mii
i
m
mii
x
y
y
F
x
y
y
F
x
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
F
x
y
y
F
x
y
y
F
x
F
K
LLLLLLLLLLLLLL
K
K
Найденная система представляет систему
m линейных уравнений
относительно
∂
∂
α
y
x
i
, её определитель есть якобиан
(
)
()
0
0
,,
,,
21
21
≠
M
m
m
yyyD
FFFD
K
K
(по условию 4 теоремы 6.6.1).
Следовательно, такая система имеет единственное решение от-
носительно
∂
∂
α
y
x
i
в окрестности точки
0
М , которое может быть най-
дено по формулам
∂
∂
α
y
x
i
(
)
()
()
m
yyyD
m
FFFD
m
y
a
yx
a
yyD
m
FFFD
i
,,
2
,
1
,,
2
,
1
,,
1
,,
1
,,
1
,,
2
,
1
K
K
KK
K
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
−= (6.6.2)
где
m,1=α , ni ,1= .

Страницы