Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120
Пример 6.6.1. Определяет ли система уравнений
⎩
⎨
⎧
=−
=−+
0
,0
yvu
xvu
в окрестности точки
(
)
0,0,2,0
0
М неявные функции
(
)
yxuu ,= и
()
yxvv ,= ?
Проверим выполнение условий теоремы:
а) функции
xvuF −+=
1
и yvuF −=
2
дифференцируемы в лю-
бой точке
()
∈vuyxM ,,,
4
R ;
б) частные производные
1
1
=
∂
∂
u
F
, 1
1
=
∂
∂
v
F
, 1
1
−=
∂
∂
x
F
, 0
1
=
∂
∂
y
F
,
0
2
=
∂
∂
x
F
, v
y
F
−=
∂
∂
2
, 1
2
=
∂
∂
u
F
, y
v
F
−=
∂
∂
2
непрерывны в любой точке
∈
М
4
R ;
в)
()
0
01
=MF,
(
)
0
02
=MF ;
г)
()
()
()
0312
1
11
0
,
,
21
≠−=−−=
−
=
M
y
vuD
FFD
.
Следовательно, найдётся такая окрестность точки
(
)
0,0,2,0
0
М ,
в пределах которой данная система уравнений определяет единствен-
ную пару функций
(
)
yxuu ,= и
(
)
yxvv ,= .
Разрешая систему относительно переменных
u и v, находим
u
yx
y
=
+1
, v
x
y
=
+1
. Очевидно, что в качестве такой окрестности
можно взять, например, открытый шар
()
32
22
2
2
<++−+ vuyx .
Убедимся в том, что координаты точки
0
М удовлетворяют
уравнениям, определяющим найденные функции. Получаем, что
0
2
,0
0
1
==
=
=
+
y
x
y
yx
u , 0
2
,0
1
==
=
=
+
y
x
y
x
v .
Кроме того, в указанной окрестности найденные функции не-
прерывны вместе со своими частными производными.
Пример 6.6.2. Найти частные производные
∂
∂
u
x
и
∂
∂
v
x
совокуп-
ности неявных функций
(
)
yxuu ,= ,
()
yxvv ,= , определяемых систе-
мой
⎩
⎨
⎧
=−
=−+
0
,0
yvu
xvu
в окрестности точки 0
0
=x , 2
0
=y , 0
00
== vu .

Страницы