Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12
1.4. Открытые и замкнутые множества
в метрическом пространстве
Пусть Х – метрическое пространство и {M} – его подмножество.
Определение 1.4.1. Множество {M} называется открытым,
если все его точки – внутренние.
Определение 1.4.2. Множество {M} называется замкнутым,
если оно содержит все свои граничные точки.
Пример 1.4.1. Показать, что множество
{
}
(
)
{
}
25:,
22
<+= yxyxМ
является открытым.
По определению открытого множества следует показать, что для
{
}
ММ ∈∀
0
существует некоторая её окре-
стность, целиком принадлежащая
{
}
M.
Пусть
{
}
ММ ∈
0
и пусть
(
)
5,0
0
<=ρ aM ,
(рис.5). В качестве ε возьмём величину
2
5 a
−
. Тогда любая точка М из ε-окрест-
ности точки M
0
удовлетворяет неравенству
(
)
ε<ρ
0
, ММ . Каждая точка М этой окрест-
ности принадлежит множеству {M}, т. к.
()
(
)
(
)
=ρ+ρ≤ρ 0,,0,
00
ММММ
2
5 a−
+ а < 5.
Следовательно, любая точка M
0
∈ M принадлежит этому множе-
ству вместе с некоторой окрестностью, что наглядно демонстрируется
геометрически.
Пример 1.4.2. Показать, что множество
{
}
(
)
{
}
25:,
22
≤+= yxyxМ
замкнуто.
Во-первых, следует показать, что границей множества
{
}
M яв-
ляется множество
(
)
{
}
25:,
22
=+=Γ yxyx . Во-вторых, что
{
}
М⊂Γ . В
первом случае надо показать, что в любой окрестности точки Γ∈
0
М
есть как точки, принадлежащие
{
}
M , так и не принадлежащие
{
}
M.
Примером точки, принадлежащей ε-окрестности точки
0
M яв-
ляется сама точка
(
)
000
, yxM , (см. рис. 6). Для выбора точки М(х, у) из
ε-окрестности точки
0
M составим параметрические уравнения прямой
0
OM :
y
M
0
ε
a
О x
Рис. 5

Страницы