Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16
Определение 1.6.2. Точка
(
)
n
aaaА ,,,
21
K называется пределом
последовательности точек
{
}
k
M , если
()
0,lim =ρ
∞→
AM
k
k
.
C помощью символов логики определение можно записать так:
()
0,lim =ρ
∞→
AM
k
k
(
)
ε<ρ>∀∃>ε∀⇔ AMNkN
k
,:0
.
Геометрически это означает, что, начиная с некоторого номера,
все члены последовательности попадают в
ε-окрестность точки А.
Теорема 1.6. (О характере сходимости последовательности
точек в
n
R ). Последовательность точек
(
)
{
}
(
)
n
k
n
kkk
k
aaaАxxxxM ,,,,,,,
21321
KK →
тогда и только тогда, когда
{
}
11
ax
k
→ ,
{
}
22
ax
k
→ , … ,
{
}
n
k
n
ax → . Та-
кая сходимость называется покоординатной.
Пример 1.6. Найти
k
k
M
∞→
lim если
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
−
k
k
kkM
k
k
2
2
2
3,1,
1
2
.
Найдём следующие три предела:
a)
2limlim
1
2
2
2
1
==
−
∞→∞→
k
k
k
k
k
x ;
б)
(
)
=∞−∞=−+=
∞→∞→
kkx
k
k
k
1limlim
2
=
(
)
(
)
() ()
0limlim
1
1
1
11
==
++++
++−+
∞→∞→
kkkk
kkkk
kk
;
в) 03limlim
2
3
==
−
∞→∞→
k
k
k
k
x .
Тогда
)0,0,2(3,1,
2
2
2
1
2
AkkM
k
k
k
k
→
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
.
Задание 1.6
1.
Запишите три первые точки последовательности
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
kk
k
k
k
M
112
;3;.

Страницы