ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
27
()
Ayxf
byax
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→→
,limlim , где
(
)
(
)
xyxf
dax
x
by
ψ=
<−<
→
,lim
1
0
.фикс.
,
который также называется внутренним.
Связь повторных пределов с пределом в обычном смысле уста-
навливает теорема 2.3.2.
Теорема 2.3.2. Пусть выполняются два условия:
1) cуществует
(
)
Cyxf
by
ax
=
→
→
,lim ;
2) cуществуют внутренние пределы
(
)
yxf
dby
y
ax
,lim
2
0
.фикс.
<−<
→
и
()
yxf
dax
x
by
,lim
1
0
.фикс.
<−<
→
.
Тогда существуют повторные пределы
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→→
yxf
byax
,limlim и
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
→→
yxf
axby
,limlim ,
причём каждый из них равен С.
Пример 2.3.1. Доказать, что
22
22
0
0
lim
yx
yx
y
x
+
−
→
→
не существует.
Пусть точка
(
)
(
)
0,0, OyxM → по любой прямой kxyl =:.
Тогда
22
22
0
0
lim
yx
yx
y
x
+
−
→
→
=
(
)
()
2
2
2
2
2
2
0
1
1
1
1
lim
k
k
kx
kx
kxy
x
+
−
+
−
=
=
→
.
В частности, при k = 1 (y = x), получим нуль, при k = 0 получим
единицу, что указывает на зависимость предела от способа стремления
точки M(x,y) к предельной, а, значит, на отсутствие предела.
В то же время повторные пределы существуют
1limlimlim
2
2
0
22
22
00
−==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
→→→
y
y
yx
yx
yxy
, 1limlimlim
2
2
0
22
22
00
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→→→
+
−
x
x
yx
yx
yyx
,
но не равны между собой.
Пример 2.3.2. Найти предел
22
2
0
0
lim
yx
yx
y
x
+
→
→
.
Для отыскания предела перейдём к полярным координатам:
ϕ
ρ
= cosx ,
ϕ
ρ= siny
. Тогда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
