Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30
2.4. Непрерывность функции
Пусть функция
(
)
Mfu = определена на множестве D и в его
предельной точке
0
M .
Определение 2.4.1. Функция
(
)
Mfu = называется непрерыв-
ной в точке
0
M , если
(
)
(
)
0
0
lim MfMf
MM
=
→
.
Назовём полным приращением функции
(
)
Mfu = в точке
0
M
величину
()
(
)
0
MfMfu −=Δ .
Тогда условие непрерывности функции в точке
0
M
() ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
→
0
0
lim MfMf
MM
эквивалентно тому, что 0lim
0
=Δ
→
u
MM
.
Если же
(
)
n
xxxM ,,,
21
K и
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K и
(
)
1
0
11
xxx Δ=− ,
(
)
2
0
22
xxx Δ=− , …,
(
)
nnn
xxx Δ=−
0
, то
(
)
−Δ+Δ+Δ+=Δ
nn
xxxxxxfu
0
2
0
21
0
1
,,, K
(
)
00
2
0
1
,,,
n
xxxf K
и условие непрерывности можно сформулировать иначе.
Определение 2.4.2. Функция
()
Mfu = называется непрерыв-
ной в точке
0
M , если 0lim
0
0
0
2
1
=Δ
→Δ
→Δ
→Δ
u
n
x
x
x
LLL
.
Определение 2.4.3. Предельные точки множества D, в кото-
рых нарушается определение непрерывности функции, называются
точками разрыва функции. Функция, непрерывная в точке
0
M , в
смысле данных выше определений, называется непрерывной в точке
0
M по совокупности аргументов.
Можно говорить и о непрерывности функции в точке по от-
дельным переменным.
Определение 2.4.4. Частным приращением функции
(
)
Mfu =
в точке
0
M по аргументу
k
x называется величина
(
)
−Δ+=Δ
+
00
1
00
2
0
1
,,,,,,
nkkkx
xxxxxxfu
k
KK
(
)
000
2
0
1
,,,,,
nk
xxxxf KK .
Определение 2.4.5. Функция
(
)
n
xxxfu ,,,
21
K= называется не-
прерывной в точке
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K по переменной
k
x, если
0lim
0
=Δ
→Δ
u
k
k
x
x
.

Страницы