Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

32
Имеют место теоремы, аналогичные основным теоремам о не-
прерывных функциях для случая одной переменной. Перечислим их.
Теорема 2.4.2 (об арифметических операциях над непрерыв-
ными функциями).
Если функции
(
)
Mf и
(
)
Mg определены на
множестве D и непрерывны в точке А
∈ D, то в этой точке непре-
рывны и следующие функции:
а) f
(М) + g(М); б) f(М) ⋅ g(М); в)
()
()
Mg
Mf
, g(А) ≠ 0.
Теорема 2.4.3 (о композиции непрерывных функций). Если
функции
()
,,,,,
2111
KK
n
xxxtt =
(
)
n
xxxtt ,,,
2122
K= ,…,
(
)
nmm
xxxtt ,,,
21
K=
непрерывны в точке
(
)
00
2
0
1
,,,
n
xxxA K , а функция
(
)
m
tttuu ,,,
21
K= не-
прерывна в точке
(
)
00
2
0
1
,,,
m
tttB K , где
()
(
)
mixxxtt
nii
,1,,,
00
2
0
1
0
== K . Тогда
композиция функций
()
(
)
(
)()
nmnn
xxxtxxxtxxxtuu ,,,,,,,,,,,,
21212211
KKKK=
непрерывна в точке А.
Теорема 2.4.4. Всякая элементарная функция многих перемен-
ных непрерывна на множестве своего определения.
Здесь под элементарной функцией многих переменных понима-
ется функция, образованная из основных элементарных функций одно-
го переменного с помощью конечного числа арифметических действий
и композиций.
Например, функция
(
)
yx
eu
+
=
2
sin – элементарная, так как об-
разована из двух основных элементарных функций:
2
xu = и v = y с
помощью арифметической операции сложения и двух композиций:
отыскания экспоненты от суммы и синуса от экспоненты.
Пример 2.4.2. Найти множество точек непрерывности функции
4
1
22
−+
=
yx
u .
Данная функция является элементарной функцией двух пере-
менных, так как образована из основных элементарных функций
2
xu = ,
2
yv = , 4=w с помощью операций сложения и деления.
Множество точек определения этой функции имеет вид
()
{
}
04:,
22
≠−+= yxyxD и, следовательно, по теореме 2.4.4 это
множество совпадает со множеством точек её непрерывности.

Страницы