Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

31
Связь между непрерывностью функции в точке по совокупности
переменных и по каждой переменной устанавливает следующая тео-
рема.
Теорема 2.4.1. Если функция
()
n
xxxfu ,,,
21
K= определена в
окрестности точки
0
M и непрерывна в ней по совокупности пере-
менных, то она непрерывна в этой точке и по каждой переменной.
Пример 2.4.1. Исследовать на непрерывность функцию
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
≠+
=
+
−
0,0
,0,
,
22
22
22
32
yx
yx
yxf
yx
yx
по совокупности переменных и по каждой переменной в точке A(0,0).
Для исследования непрерывности функции в точке следует про-
верить:
а) определена ли функция в этой точке;
б) существует ли
(
)
yxf
AM
,lim
→
;
в) выполняется ли равенство
(
)
(
)
0,0,lim fyxf
AM
=
→
.
В соответствии с равенством, определяющим функцию, имеем
f(0, 0) = 0. Найдём предел
=
+
−
→
→
22
32
0
0
lim
yx
yx
y
x
{
}
ϕρ=
ϕ
ρ
=
→ρ
sin
cos
0
y
x
(
)
ϕ=ϕρ−ϕ=
→ρ
232
0
cossincoslim .
Видим, что предел
(
)
yxf
AM
,lim
→
имеет различные значения для
разных направлений
ϕ = const, что означает отсутствие предела в точке
A(0,0) и, следовательно, функция не является непрерывной в этой точке.
Исследуем непрерывность по каждой переменной. Сначала най-
дём частное приращение функции по переменной
x в точке A(0,0), по-
лучим
()()
10,00,0
2
2
=
Δ
Δ
=−Δ+=Δ
x
x
fxff
x
и 011limlim
00
≠==Δ
→Δ→Δ x
x
x
f .
Откуда заключаем, что функция не является непрерывной в
точке
A(0,0) по переменной х.
Аналогично находим
()()
yfyff
y
y
y
Δ==−Δ+=Δ
Δ
Δ
2
3
0,00,0 и 0limlim
00
=Δ=Δ
→Δ→Δ
yf
y
y
y
.
Следовательно, данная функция непрерывна в точке
A(0,0) по
переменной
у.

Страницы