Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

35
Пример 2.5.1. Ограничена ли функция
22
yxu −= в круге
()
{
}
25:,
22
≤+= yxyxD ?
Проверим выполнение условий первой теоремы Вейерштрасса.
Во-первых, множество
D является замкнутым, т. к. содержит границу
()
{
}
25:,
22
=+=Γ yxyx и ограничено. Во-вторых, функция
22
yxu −= непрерывна на
2
R по теореме о непрерывности элемен-
тарных функций. Следовательно функция
22
yxu −= ограничена на
множестве
()
{
}
25:,
22
≤+= yxyxD .
Определение 2.5.3. Число а называется точной верхней гранью
функции u
= f(M) на множестве D, если выполняются два условия:
а)
D
М
∈∀
(
)
aMf ≤ ; б) 0>
ε
∀
(
)
ε−>
′
⇒∈
′
∃ aMfDM .
Принято следующее обозначение точной верхней грани:
(
)
Mfa
D
sup
= .
Определение 2.5.4. Число b называется точной нижней гранью
функции u = f(M) на множестве D, если выполняются два условия:
а)
D
М
∈∀
(
)
bMf ≥ ; б) 0>
ε
∀
(
)
ε+<
′
⇒∈
′
∃ bMfDM .
Принято обозначение:
(
)
Mfb
D
inf
= .
Теорема 2.5.2 (вторая теорема Вейерштрасса). Всякая непре-
рывная в замкнутой ограниченной области функция достигает на ней
своих точных граней.
Пример 2.5.2. Достигает ли функция
22
66
yx
yx
u
+
+
= своих точных
граней на множестве
(
)
{
}
90:,
22
≤+<= yxyxD ?
Вторая теорема Вейерштрасса не применима, так как множество
D не замкнуто.
Перейдём к полярным координатам, получим функцию
(
)
ϕ+ϕρ=
664
sincosu в области
(
)
{
}
30:, ≤ρ<ϕρ=
′
D .
Выполним некоторые преобразования.
(
)
(
)
=ϕ+ϕϕ−ϕϕ+ϕρ=
4224224
sinsincoscossincosu
() ()
[
]
=ϕ−+ϕ−ϕ+=
ρ
2
2
2
4
2cos12sin2cos1
4
[
]
=ϕ++ϕ−ϕ+=
ρ
2cos12sin2cos1
222
4
4

Страницы