Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36
[
]
()
.2cos312sin2cos22
2
4
22
4
44
ϕ+=ϕ−ϕ+=
ρρ
.
Для любой точки
(
)
DM
′
∈ϕρ
′
, 0>u , что и означает ограничен-
ность функции на данном множестве. Число 81 является супремумом
данной функции на множестве
D
′
, оно достигается при
3
=
ρ
и
2
π
=ϕ
n
. При
0→ρ
0→u , но т. к.
0>
ρ
и 02cos31
2
>ϕ+ , то своей
точной нижней грани функция не достигает.
Теорема 2.5.3 (теорема Коши о промежуточном значении не-
прерывной функции в связной области).
Если функция u = f(M) непре-
рывна в области D и принимает в этой области значения А и В, то она
принимает в этой области любые значения, заключённые между А и В.
Пример 2.5.3. Применима ли теорема Коши об обращении
функции
22
yxu −= в ноль на множестве
(
)
{
}
25:,
22
≤+= yxyxD ?
Множество
D является связной областью. Функция
22
yxu −=
непрерывна всюду на
2
R , в том числе и в области D, как элементарная
функция двух переменных. Имеем, что
(
)
DА ∈3,2, т. к.
251632
2222
<=+=+ yx и
(
)
05 <−=Аf ,
()
DB ∈2,3 и
(
)
05 >=Bf .
Тогда в области
D существует точка
(
)
000
, yxM такая, что
()
0
0
=Mu . Очевидно, что u(M) = 0 в каждой точке, где х = у или х = –у.
Задание 2.5
1.
Ограничена ли функция z = 2 − 2x − y на множестве
(
)
{
}
20 ,10 :, ≤≤≤≤= yxyxD ? (Да, нет).
2. Достигает ли функция z = 2 − 2x − у своих точных граней на
множестве
(){}
20,10:, ≤≤≤≤= yxyxD ? (Да, нет).
3. Найдите
(
)
yxf
D
,sup ,
если
()
yxyxf −−= 22, и
(
)
{
}
20,10:, ≤≤≤≤= yxyxD .
4. В какой точке области
(){}
20,10:, ≤≤≤≤= yxyxD
() ()
yxfyxf
D
,sup,
00
= , если f(x, y) = 2 − 2x − y ?
5. Найдите
(
)
yxf
D
,inf ,
если
()
yxyxf −−= 22, и
(
)
{
}
20,10:, ≤≤≤≤= yxyxD .

Страницы