Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

38
3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3.1. Частные производные
Пусть функция
(
)
Mfu = определена на множестве
{
}
М и
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K – его внутренняя точка и пусть
(
)
−Δ+=Δ
+−
00
1
00
1
0
2
0
1
,,,,,,,
nkkkkx
xxxxxxxfu
k
KK
−
(
)
000
2
0
1
,,,,,
nk
xxxxf KK
есть частное приращение функции в точке
0
М по аргументу
k
x .
Определение 3.1.1. Частной производной функции
(
)
n
xxxfu ,,,
21
K=
по аргументу
k
x в точке
0
М называется предел
k
x
x
x
u
k
k
Δ
Δ
→Δ 0
lim .
Обозначается такая частная производная символом
()
0
M
k
x
u
∂
∂
,
или
()
0
Mu
k
x
′
.
Заметим, что согласно определению
()()
0
00
2
0
1
00
2
0
1
,,,,,,,,
kk
k
k
xx
nkn
xxxx
dx
du
xxx
x
u
=
=
∂
∂
KKK .
Пример 3.1.1. Найти по определению частные производные
функции
3
xyu = в точке
(
)
0,0O .
Найдём сначала частное приращение функции по х
(
)
(
)
(
)
000000,00,0
3
3
=⋅−⋅Δ+=−Δ+=Δ xfxfu
x
.
Теперь следует совершить предельный переход
00limlimlim
000
0
===
→Δ→Δ→Δ
ΔΔ
Δ
xx
x
x
xx
u
.
Следовательно,
()
00,0 =
∂
∂
x
u
. Аналогично,
()
00,0 =
∂
∂
y
u
.
Пример 3.1.2. Найти частные производные функции
y
x
eu = .
Для отыскания частной производной функции
y
x
eu = пo пе-
ременной х функцию u(x, y) рассматривают как функцию одной пере-
менной х, при этом считают, что у имеет фиксированное значение.

Страницы