ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
43
22
4 yxy −−= ,
22
4 yxy −−−= ,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−−−
<≤−−−
=
.10,4
,01,4
22
22
xyx
xyx
y
Теорема 3.3.1 (cуществования, единственности и дифферен-
цируемости неявной функции одного аргумента).
Пусть
1) функция F(x, y) определена и непрерывна вместе со своими
частными производными в некоторой окрестности точки
(
)
000
, yxM ;
2)
()
0,
00
=yxF ;
3)
()
0,
00
≠
′
yxF
y
.
Тогда найдётся такая окрестность
()
δ,
0
xU точки
0
x, в преде-
лах которой существует единственная неявная функция y = y(x),
определяемая уравнением F(x, y) = 0, такая, что
а)
()
00
xfy = ;
б) у = у(х) непрерывна вместе со своей производной, причём
()
()
yxF
yxF
y
y
x
,
,
′
′
−=
′
.
Пример 3.3.1. Определяет ли уравнение
(
)
02, =−+≡
xy
yexeyxF
неявную функцию y = y(x) в окрестности точки 0
0
=x ?
Рассмотрим некоторую окрестность точки
(
)
2;0
0
M и проверим
условия теоремы:
1) функция
(
)
2, −+≡
xy
yexeyxF определена и непрерывна
вместе со своими частными производными
xy
yee
x
F
+=
∂
∂
и
xy
exe
y
F
+=
∂
∂
на
2
R , а, следовательно, и в некоторой окрестности
точки
0
М ;
2)
()
02202,0
02
=−+≡ eeF ; 3) 01
0
0
≠=+=
∂
∂
M
xy
M
exe
y
F
.
Тогда, в соответствии с теоремой, в некоторой окрестности точ-
ки
x
0
0= существует единственная функция y = y(x), определяемая
уравнением 02 =−+
xy
yexe , причём,
xy
y
y
x
exe
yee
F
F
x
y
+
+
′
′
−=−=
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
