ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44
Пример 3.3.2. Найти
(
)
0y
′
и
(
)
0y
′
′
неявной функции y = y(x),
определяемой уравнением
(
)
02, =−+≡
xy
yexeyxF .
Первый способ. В соответствии с формулой
()
y
x
F
F
xy
′
′
−=
′
на-
ходим
()
()
()
xy
xy
y
xy
x
xy
exe
yee
yexe
yexe
xy
+
+
′
−+
′
−+
−=−=
′
2
2
и
()
(
)
20
2
02
02
0
2
+−==
′
+⋅
⋅+
ey
ee
ee
.
Теперь найдём
() ()()
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
′
′
=
′′
+
+
x
xy
xy
exe
yee
xyxy
2
)(
))(())((
xy
xyyxyxyxxy
exe
eyxeeyeeexeyeeyye
+
+
′
++−++
′
+
′
⋅
−=
.
Подставим в
(
)
xy
′
′
x
0
0= ,
(
)
20 =y ,
()
(
)
20
2
+−=
′
ey , получим
()
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=++−++−+−−=
′′
212220
22222
eeeeey 262
24
++ ee .
Второй способ. Так как уравнение 02 =−+
xy
yexe определя-
ет
y = y(x), то, дифференцируя тождество
(
)
(
)
02 ≡−+
xxy
exyxe по х,
получаем 0
≡+
′
+
′
+
xxyy
yeeyyxee , откуда находим
xy
xy
exe
yee
y
+
+
−=
′
.
В частности,
(
)
20
2
−−=
′
ey . Продифференцируем тождество
ещё раз по
x, получим
(
)
0
2
≡+
′
+
′
+
′′
+
′′
+
′
+
′
+
′
⋅
xxxxyyyy
yeeyeyeyyxeyxeyeye ,
из которого при 0
0
=x ,
(
)
20 =y ,
(
)
20
2
−−=
′
ey находим
(
)
024222
222
=+−−
′′
+−− eyee и
()
2620
24
++=
′′
eey .
Аналогичным образом определяется неявная функция несколь-
ких переменных, и для неё формулируется теорема существования.
Теорема 3.3.2 (существования, единственности, непрерывно-
сти и дифференцируемости неявной функции многих перемен-
ных).
Пусть
1) функция
(
)
uxxxF
n
,,,,
21
K определена и непрерывна вместе
со своими частными производными в некоторой окрестности точки
(
)
000
2
0
10
,,,, uxxxM
n
K ;
2)
()
0
0
=MF ; 3)
(
)
0
0
≠
′
MF
u
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
