Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

45
Тогда найдётся такая окрестность точки
(
)
00
2
0
1
,,
n
xxx K , в пре-
делах которой существует единственная неявная функция
()
n
xxxuu ,,,
21
K= , определяемая уравнением
(
)
0,,,,
21
=uxxxF
n
K ,
такая, что
а
)
(
)
00
2
0
1
0
,,,
n
xxxuu K= ;
б
)
()
n
xxxuu ,,,
21
K= непрерывна в указанной окрестности вме-
сте со своими частными производными, причём,
(
)
()
uxxx
uxxx
x
u
n
u
F
n
x
F
i
i
,,,,
,,,,
21
21
K
K
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
.
Пример 3.3.3. Докажите, что уравнение 83
3
=− xyzz определя-
ет единственную
дифференцируемую неявную функцию вида
z = z(x, y) в некоторой окрестности точки
0
М (0, −1, 2). Найдите
()
0
Mz
x
′
.
Во-первых, функция
(
)
83,,
3
−−= xyzzzyxF определена и не-
прерывна вместе со своими частными производными
yz
x
F
3−=
∂
∂
,
xz
y
F
3−=
∂
∂
, xyz
z
F
33
2
−=
∂
∂
всюду на
3
R , в том числе и в некоторой
окрестности точки
(
)
2,1,0
0
−M .
Во-вторых,
(
)
088
0
=−=MF .
В-третьих,
(
)
012
0
≠=
∂
∂
M
z
F
.
Все условия теоремы выполняются, следовательно, найдётся
такая окрестность точки (0, –1), в которой уравнение
083
3
=−− xyzz определяет единственную дифференцируемую
функцию
z = z(x, y).
Найдём
∂
∂
z
x
. Можно воспользоваться готовой формулой
xyz
zy
xyz
zy
x
z
z
F
x
F
−−
−
∂
∂
=−=−=
∂
∂
∂
∂
22
33
3
и
(
)
2
1
0
−=
∂
∂
M
x
z
.
Можно продифференцировать по
х тождество
(
)
(
)
083
3
=−− xxyzxz ,
в которое подставлено решение заданного уравнения.

Страницы