Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

47
8. Найдите
∂
∂
z
y
для функции
()
yxfz ,= , заданной неявно
уравнением
222
zyx =+ .
9. Неявная функция
(
)
yxfz ,= задана уравнением
02
222
=−++− yxzyyxxz .
Найдите
x
z
∂
∂
в точке M
0
(0, 1).
10. Неявная функция z = f(x, y) задана уравнением
02
222
=−++− yxzyyxxz .
Найдите
y
z
∂
∂
в точке M
0
(0, 1).
3.4. Определение дифференцируемой функции
Пусть функция u = f(x
1
, x
2
, …, x
n
) определена на множестве D и
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K − его внутренняя точкa.
Пусть
(
)
(
)
00
2
0
1
0
2
0
21
0
1
,,,,,,
nnn
xxxfxxxxxxfu KK −Δ+Δ+Δ+=Δ
есть полное приращение функции
u = f(M) в точке M
0
, отвечающее
приращениям аргументов
n
xxx ΔΔΔ ,,,
21
K
Определение 3.4.1. Функция u = f(x
1
, x
2
, …, x
n
) называется
дифференцируемой в точке
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K , если её полное прира-
щение в этой точке имеет вид
)(
2211
ρ+Δ++Δ+Δ=Δ oxAxAxAu
nn
L , (3.4.1)
где
(
)
niA
i
,1= есть числа, о(ρ) – бесконечно малая величина высшего
порядка малости, чем ρ
и
( )()() ()
22
2
2
10
,
n
xxxMM Δ++Δ+Δ=ρ=ρ L .
Другое условие дифференцируемости функции в точке, эквива-
лентное данному, имеет вид
nnnn
xxxxAxAxAu Δα++Δα+Δα+Δ++Δ+Δ=Δ LL
22112211
,
где
(
)
niA
i
,1= есть числа и α
1
есть функции от аргументов
n
xxx ΔΔΔ ,,,
21
K , причём 0lim
0
0
0
2
1
=α
→Δ
→Δ
→Δ
i
x
x
x
n
LLL
.
Пример 3.4.1. Дифференцируема ли функция
44
32 yxyxu ++−= в точке О(0, 0)?

Страницы