Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48
Найдём полное приращение функции в точке
О(0, 0) по форму-
ле
)0,0( yxuu
Δ
+
Δ+=Δ
−u(0, 0), получим
−Δ++Δ++Δ+−Δ+=Δ
44
)0()0()0(3)0(2 yxyxu
4444
)()(32000302 yxyx Δ+Δ+Δ−Δ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⋅−⋅−
.
В соответствии с определением дифференцируемой функции
следует проверить равенство
)()()(
44
ρ=Δ+Δ oyx .
Найдём
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ϕρ=Δ
ϕρ=Δ
=
ρ
Δ+Δ
→ρ
sin
,cos
)()(
lim
44
0
y
x
yx
ρ
ϕ+ϕρ
=
→ρ
442
0
sincos
lim
02sin1lim
2
0
2
1
=ϕ−⋅ρ=
→ρ
,
поскольку ρ − бесконечно малая величина, а ϕ− 2sin
2
1
1
2
есть огра-
ниченная функция, то
)()()(
44
ρ=Δ+Δ oyx , ρ → 0.
Таким образом, данная функция удовлетворяет определению
(3.4.1) дифференцируемой функции.
Пусть функция
u = f(x
1
, x
2
, …, x
n
) дифференцируема в точке
(
)
00
2
0
10
,,,
n
xxxM K .
Тогда её приращение имеет вид
nnnn
xxxxAxAxAu Δα++Δα+Δα+Δ++Δ+Δ=Δ LL
22112211
,
где
nn
xAxAxAu Δ++Δ+Δ=Δ L
2211
есть линейная относительно
n
xxx ΔΔΔ ,,,
21
K часть приращения функции, а
)(
2211
ρ=Δα++Δα+Δα oxxx
nn
L при ρ → 0.
Определение 3.4.2. Дифференциалом функции u = f(x
1
, x
2
, …, x
n
)
в точке М
0
называется линейная относительно приращений аргумен-
тов часть приращения функции.
Принято следующее обозначение для дифференциала в точке
М
0
:
(
)
nn
xAxAxAMdu Δ++Δ+Δ= L
22110
.
Положим
ii
dxx =Δ , (i = 1, n).
Тогда
()
nn
dxAdxAdxAMdu +++= L
22110
.

Страницы