ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
51
На основании теоремы о непрерывности элементарной функции
в области определения функция
3
xyu = непрерывна в точке
(
)
0,0
0
М .
Пример 3.5.2. Дифференцируема ли функция
3
xyu = в точке
()
0,0
0
М ?
Так как
3
yxu ΔΔ=Δ , то для выполнения условия дифферен-
цируемости следует проверить равенство
(
)
ρ=ΔΔ oyx
3
при
0→ρ
. Для этого нужно найти
∞===
ρ
ϕϕ
ρ
ϕϕρ
ρ
ΔΔ
→ρ→ρ→ρ
3
3
0
3
2
0
3
0
sincossincos
limlimlim
yx
.
Это означает, что функция
3
yxu = не дифференцируема в точ-
ке
()
0,0
0
M .
Сравнивая результаты двух последних примеров, замечаем, что
не всякая непрерывная в данной точке функция дифференцируема в
этой точке.
Теорема 3.5.2. Если функция
()
n
xxxfu ,,,
21
K= дифференци-
руема в точке
0
М , то она имеет в этой точке частные производные
по каждому аргументу
k
x, причём
()
k
k
AM
x
u
=
∂
∂
0
,
(
)
nk ,1= .
Используя этот результат, условия дифференцируемости функ-
ции многих переменных можно записать в виде
() () ()
+Δ++Δ+Δ=Δ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
n
xMxMxMu
x
u
x
u
x
u
020
2
10
1
K
nn
xxx Δα++Δα+Δα+ K
2211
.
Поскольку
ii
dxx =Δ ,
(
)
ni ,1= , то
n
n
dxM
x
u
dxM
x
u
dxM
x
u
Mdu
)()()()(
020
2
10
1
0
∂
∂
++
∂
∂
+
∂
∂
= L .
Пример 3.5.3. Существуют ли частные производные функции
3
33
yxu += в точке
(
)
0,0
0
М ?
Найдём частные производные по определению:
()
1limlim
3
3
00
0
===
Δ
Δ
Δ
Δ
∂
∂
→Δ→Δ
x
x
x
u
x
u
x
x
x
M .
Аналогично
(
)
10,0 =
∂
∂
y
u
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
