Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

52
Пример 3.5.4. Дифференцируема ли функция
3
33
yxu += в
точке
()
0,0
0
М ?
Найдём
3
33
yxu Δ+Δ=Δ . Исследуем условие дифференцируе-
мости, для этого найдём
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ϕρ=Δ
ϕρ=Δ
=
ρ
Δ+Δ
→ρ
sin
cos
lim
3
33
0
y
x
yx
=
ρ
ϕ+ϕρ
→ρ
3
33
0
sincos
lim
3
33
sincos ϕ+ϕ ,
Для разных значений
ϕ получаем разные значения предела от-
ношения
ρ
Δ+Δ
33
yx
, что означает отсутствие предела, следователь-
но,
()
ρο≠Δ+Δ
3
33
yx при
0→
ρ
и функция не дифференцируема в
точке
0
М .
Из сравнения примеров 3.5.3
и 3.5.4 следует, что из существова-
ния частных производных функции в точке не следует её дифференци-
руемость в этой точке.
Задание 3.5
1.
Постройте диаграмму взаимного расположения следующих
множеств:
A – множество функций, непрерывных в области D.
B – множество функций, дифференцируемых области D.
Альтернативы для выбора ответа 1 – 5, где:
1)
A = B
2)
A B
3)
B A
4)
A B
5)
2. Непрерывна ли функция
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
−
+
yx
yx
z
yx
yx
,0
,,
в точке (0, 0)?
(Да, нет).
3. Что Вы можете сказать о дифференцируемости функции
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
−
+
yx
yx
z
yx
yx
,0
,,
в точке (0, 0) на основании исследования, прове-
дённого в предыдущей задаче?
Альтернативы для выбора ответа 1 – 3, где:
1) функция дифференцируема;
2) функция не дифференцируема;
A B

Страницы