Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

55
Теорема 3.6.1. Если функция
()
n
xxxfu ,,,
21
K= имеет част-
ные производные по всем переменным в некоторой окрестности точ-
ки M
0
, причём эти производные непрерывны в точке
0
М , то функция
()
n
xxxfu ,,,
21
K= дифференцируема в точке
0
М .
Пример 3.6.1. Найти множество точек плоскости, в которых
функция
(
)
22
ln yxz += дифференцируема.
Функция
(
)
22
ln yxz += определена всюду, где 0
22
>+ yx , т. е.
на всей плоскости
2
R , кроме точки (0, 0).
В каждой точке области определения функции существуют и
непрерывны её частные производные
22
2
yx
x
x
z
+
∂
∂
= ,
22
2
yx
x
y
z
+
∂
∂
= .
Отсюда по теореме 3.6.1 следует, что функция
(
)
22
ln yxz +=
дифференцируема всюду, кроме точки (0, 0).
Замечание. Если в некоторой области
D функция z = f(x,y)
имеет непрерывные производные, то она называется непрерывно диф-
ференцируемой в этой области.
Пример 3.6.2. Показать, что функция yxu sin
3
= имеет част-
ные производные в точке
(
)
0,0
0
М , дифференцируема в этой точке, но
частные производные не являются непрерывными в точке
(
)
0,0
0
М .
Поскольку
3
2
sin
3
1
x
y
x
u
=
∂
∂
для x
≠
0 , то найдём
(
)
0,0
x
u
∂
∂
по опре-
делению. Так как
(
)
(
)
00,00,0 =−Δ+=Δ fxfu
x
, то 0lim
0
==
Δ
Δ
∂
∂
→Δ
x
u
x
u
x
x
.
Итак,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
∂
∂
.0,0
,0,
3
2
sin
3
1
x
x
x
y
x
u
Другая частная производная
()
()
0cos0,0
0,0
3
==
∂
∂
yx
y
u
.
Теперь следует показать, что данная функция дифференцируема
в точке
()
0,0
0
М . Для этого найдём и проанализируем полное прира-
щение функции в этой точке:
()
(
)
(
)
yxfyxfu ΔΔ=⋅−Δ+Δ+=Δ sin000,00,0
3
.

Страницы