Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

56
Далее следует ответить на вопрос, справедливо ли равенство
()
ρο=ΔΔ yxsin
3
,
0→
ρ
. Найдём
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ϕρ=Δ
ϕρ=Δ
=
ρ
ΔΔ
→ρ
sin
cos
lim
sin
3
0
y
x
yx
=
ϕρ
ρ
ϕρ
→ρ
)sin
lim
sin(cos
3
3
1
0
.0lim
sincos
3
3
1
0
=
ρ
/
ϕρ
/
⋅ϕρ
→ρ
Отсюда следует, что функция дифференцируема в точке
0
М (0, 0).
Исследуем непрерывность частных производных в точке
0
М .
Для этого найдём
3
2
0
0
3
2
0
0
0
0
limlimlim
3
1
sin
3
1
x
y
x
y
x
u
y
x
y
x
y
x
→
→
→
→
→
→
==
∂
∂
.
При отыскании предела воспользовались тем, что sin
y ∼ y при
у → 0.
Пусть точка
(
)
(
)
0,0,
0
MyxM → по лучу xy
=
, тогда
0
3
1
3
2
3
2
→== x
x
x
x
y
. Пусть теперь
(
)
(
)
0,0,
0
MyxM → по лучу 0
=
x ,
тогда
∞→
3
2
x
y
. Итак, предел
∂
∂
u
x
в точке
0
М не существует.
Следовательно,
∂
∂
u
x
не является непрерывной в этой точке.
Другая частная производная
∂
∂
u
y
непрерывна всюду на R.
Из рассмотренного примера 3.6.2 следует, что в теореме 3.6.1
формулируются достаточные условия дифференцируемости функции,
но не необходимые.
Задание 3.6
1.
Укажите достаточное условие дифференцируемости функции
z = f(x,y) на множестве D.
Альтернативы для выбора ответа 1 – 3, где:
1)
z = f(x,y) непрерывна в D;
2)
∂
∂
z
x
и
∂
∂
z
y
существуют в D;

Страницы