Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58
Если функция
(
)
yxfz ,= дифференцируема в точке
0
M , то су-
ществуют касательная плоскость и нормаль к её графику,
уравнения
которых имеют вид соответственно:
(
)
(
) ()
(
)
00000
: yyMxxMzzT
y
z
x
z
−+−=−
∂
∂
∂
∂
,
() ()
1
0
0
0
0
0
:
−
−−−
==
∂
∂
∂
∂
zz
M
yy
M
xx
y
z
x
z
N .
Если функция z = f(x, y) задана неявно уравнением F(x, y, z) = 0,
то уравнения касательной плоскости и нормали в точке
(
)
000
,, zyxM
o
имеют вид соответственно:
()( )
(
)
(
)
(
)
(
)
,0:
000000
=−+−+−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
zzMyyMxxMT
z
F
y
F
x
F
() () ()
0
0
0
0
0
0
:
M
zz
M
yy
M
xx
z
F
y
F
x
F
N
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−−−
== .
Пример 3.7.1. Составить уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
22
4: yxzS −−= в точке
(
)
1,1
0
M .
Для составления уравнений касательной плоскости и нормали тре-
буются значения частных производных в точке
0
M , поэтому находим
()
()
2
1
4
1,1
22
0
−==
−−
−
∂
∂
yx
x
x
z
M ,
(
)
()
∂
∂
z
y
y
xy
M
0
22
11
4
1
2
==−
−
−−
,
.
Поскольку
2114
0
=−−=z , то искомые уравнения имеют вид
(
)
(
)
112:
2
1
2
1
−−−−=− yxzT ,
1
111
2
1
2
1
:
−
−
−
−
−
−
==
zyx
N .
Задание 3.7
1.
Напишите уравнение касательной плоскости к графику функ-
ции
22
yxz += в точке (1, 2, 5).
2. Запишите уравнение нормали к графику функции
22
yxz +=
в точке (1, 2, 5).

Страницы