Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

61
()(
,,,,
211 k
tttxuu K=
(
)
(
))
knk
tttxtttx ,,,,,,,,
21212
KKK
дифференцируема в точке t и её частные производные находятся по
формулам
i
n
niii
t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+++= K
2
2
1
1
, ni ,1= .
Пример 3.8.1. Найти частные производные функции
22
yx
ez
+
=
по переменным u и v, если x = uv,
v
u
y = .
Применим формулу
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+= .
Получим
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++
∂
∂
2
2
2
1
2
22
2222
222
1
v
u
v
u
z
uveyevxe
v
vu
yxyx
.
Аналогично
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+= ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++
∂
∂
3
2
2
1
2
2
22
2222
222
v
u
v
u
v
z
vueyeuxe
v
vu
yxyx
.
Пример 3.8.2. Найти
dt
zd
если z = xy, где
(
)
2
1ln tx += и
y = arctgt.
Используем формулу
td
yd
y
z
td
xd
x
z
td
zd
∂
∂
∂
∂
+= .
Получим
2
2
222
1
)1(ln
1
arctg2
1
1
1
2
t
t
t
tt
tt
t
td
zd
xy
+
+
+++
+=+= .
Пример 3.8.3. Выразить
u
z
∂
∂
и
v
z
∂
∂
через
x
z
∂
∂
и
y
z
∂
∂
, если
),(
yxzz = ,
22
vux += , vuy
−
=
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+= ,
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+= .
Так как
u
u
x
2=
∂
∂
, v
v
x
2=
∂
∂
, 1=
∂
∂
u
y
, 1−=
∂
∂
v
y
, то
y
z
u
x
z
u
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+= 2 ,
y
z
v
x
z
v
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−= 2.

Страницы