Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

69
8. Нельзя ли определить, чему равна производная
l
z
∂
∂
от функ-
ции в точке (0, 0)? (Да, нет).
9. Функция u = f(x, y, z), определяющая скалярное поле, не диф-
ференцируема в точке
M(x, y, z). Можно ли утверждать, что производ-
ная этой функции в точке
M(x, y, z) вдоль любого направления l не су-
ществует? (Да, нет).
10. Может ли производная
l
u
∂
∂
функции u = f(x, y, z) принимать
одно и то же значение вдоль любого направления
l ? (Да, нет).
4.3. Градиент и его свойства
Определение 4.3.1.
Градиентом скалярного поля u = u(x, y, z) в
точке
M
0
называется вектор
() () () ()
kMjMiMMu
z
u
y
u
x
u
0000
grad
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++= .
Градиент в данной точке
M
0
указывает направление наискорей-
шего изменения поля в этой точке, а
()
0
grad Mu есть наибольшая ско-
рость изменения поля в точке
M
0
.
Градиент в данной точке
M
0
связан с производной по направле-
нию формулой
() ()
(
)
lMuM
l
u
,grad
00
=
∂
∂
.
Наконец, градиент в точке M
0
направлен по нормали к поверх-
ности уровня, проходящей через точку M
0
.
Пример 4.3.1. Указать направление наискорейшего изменения
поля
{}
yxu ,min= в точке M
0
(2, 1), найти максимальную скорость из-
менения поля в этой точке.
Сначала уточним аналитическое выражение
функции для некоторой окрестности, содержащей
точку M
0
(2, 1) (рис. 23). Так как
yyx
=
),min(
для
выбранной окрестности, то
0=
∂
∂
x
u
, 1=
∂
∂
y
u
,
(
)
jMu =
0
grad и
() ()
1gradmax
00
===
∂
∂
jMuM
l
u
.
у y = x
1 M
0
О 2 x
Рис. 23

Страницы