ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
73
()
xyyxyy
x
x
z
x
x
z
sincos
2
2
2
−==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
()
xyxyxyxyy
y
x
z
y
xy
z
sincoscos
2
−==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
,
()
xyxyxyxyx
x
y
z
xyx
z
sincoscos
2
−==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
.
Замечаем, что
∂
∂∂
∂
∂∂
22
z
yx
z
xy
= всюду на
2
R , что объясняется
непрерывностью смешанных частных производных данной функции в
силу их элементарности на
2
R . Наконец,
()
xyxxyx
y
y
z
y
y
z
sincos
2
2
2
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
Пусть функция u = (x, y) имеет дифференциал в точке М(х,у)
(
)
(
)
dyyxdxyxdu
y
u
x
u
,,
∂
∂
∂
∂
+= .
Пусть при этом
()
yx
x
u
,
∂
∂
и
()
yx
y
u
,
∂
∂
– дифференцируемые функ-
ции.
Определение 5.1.1. Вторым дифференциалом функции u(x, y) в
точке М(х,у) называется дифференциал от дифференциала первого
порядка при условиях:
1) в дифференциале первого порядка dx и dy являются постоян-
ными приращениями;
2) при отыскании дифференциалов от
()
yx
x
u
,
∂
∂
и
()
yx
y
u
,
∂
∂
при-
ращения независимых переменных х и у берутся равными dx и dy со-
ответственно.
То есть
()
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
∂
∂
∂
∂
dydxddudud
y
u
x
u
2
()
() ()
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
dyddyddxddxd
y
u
y
u
x
u
x
u
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
dydydxdxdydx
y
u
yx
u
xy
u
x
u
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2 dydxdydx
y
u
yx
u
x
u
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
++= , т. к.
(
)
(
)
0== dyddxd .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
