ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
74
Итак,
2
2
22
2
2
2
2
2 dydxdydxud
y
u
yx
u
x
u
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
++= .
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка
(
)
uddud
23
= и далее по индукции дифференциал порядка n
(
)
uddud
nn 1−
= .
Определение 5.1.2. Оператором дифференциала первого по-
рядка назовём символ
dydxd
yx ∂
∂
∂
∂
+= ,
действие которого на функцию u(x, y) определяется по формуле
dydxudydxdu
y
u
x
u
yx ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= .
Таким же образом вводится оператор дифференциала второго
порядка
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∂
∂
∂
∂
dydxd
yx
,
с помощью которого дифференциал 2-го порядка находится по формуле
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 dydxdydxudydxud
y
u
yx
u
x
u
yx
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= .
Наконец, дифференциал порядка n также может быть записан с
помощью оператора дифференциала порядка n в виде
udydxud
n
n
yx
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∂
∂
∂
∂
.
Пример 5.1.2. Найти ud
2
, если
32
yxu = .
Пример можно решить двумя способами:
а) по формуле
2
2
22
2
2
2
2
2 dydxdydxud
y
u
yx
u
x
u
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
++= .
Для этого найдём все частные производные 2-го порядка:
3
2xy
x
u
=
∂
∂
,
3
2
2
2y
x
u
=
∂
∂
,
2
2
6xy
xy
u
=
∂∂
∂
,
22
3 yx
y
u
=
∂
∂
, yx
y
u
2
2
2
6=
∂
∂
.
Тогда
222232
6122 dyyxdydxxydxyud ++= .
б) По определению
(
)
dudud =
2
.
Имеем dyyxdxxydu
223
32 += .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
