ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
84
Пример 5.4.1. Функция
22
yxz += имеет ми-
нимум в точке О(0, 0), что наглядно иллюстрируется
геометрически (рис. 28). Частные производные этой
функции
(
)
()
020,0
0,0
==
∂
∂
x
x
z
,
(
)
()
020,0
0,0
==
∂
∂
y
y
z
.
В точке экстремума частные производные могут
и не существовать.
Пример 5.4.2. Функция
22
yxz += имеет
минимум в точке
(
)
0,0O , что также наглядно иллю-
стрируется геометрически, (рис.29). Однако част-
ные производные
22
yx
x
x
z
+
∂
∂
= ,
22
yx
y
y
z
+
∂
∂
= в
точке
(
)
0,0O не определены.
Замечание. Равенство нулю частных производных является
лишь необходимым, но не достаточным условием экстремума.
Так, для функции z = x
⋅
y
(
)
00,0 =
∂
∂
x
z
,
(
)
00,0 =
∂
∂
y
z
,
но в любой окрестности
(
)
0,0
0
М есть точки, для которых
()
0
0 Mfyxz =>⋅= и точки, для которых
(
)
0
0 Mfyxz =<⋅= .
В
()
0,0
0
М функция z = x
⋅
y не имеет экстремума.
Задание 5.4
1.
Точка O(0,0) есть стационарная точка для каждой из функ-
ций
(
)
22
1
, yxyxf += ;
(
)
22
2
, yxyxf −= .
Что можно сказать о наличии экстремума в этой точке для каж-
дой из функций на основании необходимого признака?
Альтернативы для выбора ответа 1 – 2, где:
1)
обе функции имеют экстремум в точке О(0,0);
2) по проведённому исследованию ничего сказать нельзя: экс-
тремум может быть, а может и не быть.
z
O y
x
Рис. 28
z
O y
x
Рис. 29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
