ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
87
Пример 5.5.1. Найти точки локального экстремума функции
yxyxu 632
33
+−−= .
Сначала найдём стационарные точки функции из системы урав-
нений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
±=
⇔
=+−=
±==−=
∂
∂
∂
∂
.1,066
;1,033
2,1
2
2,1
2
yy
xx
x
u
x
u
Получаем 4 точки:
М
1
(1, 1), М
2
(−1, −1), М
3
(−1, 1), М
4
(1, −1).
Найдём частные производные 2–го порядка:
x
x
u
6
2
2
=
∂
∂
, 0
2
=
∂∂
∂
yx
u
, y
y
u
12
2
2
−=
∂
∂
.
Исследуем теперь каждую критическую точку и результаты
оформим в виде таблицы.
()
000
, yxM
11
a
22
a
12
a
D Вывод
1
M (1, 1)
6
−
12
0
−
72
Экстремум отсутствует
2
M (−1, −1)
−6
12 0
−
72
Экстремум отсутствует
3
M (−1, 1)
−6
−
12
0 72
3
M – точка максимума
4
M (1, −1)
6 12 0 72
4
M – точка минимума
Пример 5.5.2. Найти точки локального экстремума функции
33
yxz = .
Найдём стационарные точки из системы уравнений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
==
∂
∂
∂
∂
,03
,03
32
32
xy
yx
x
z
x
z
⇔
⎩
⎨
⎧
=
=
.0
,0
y
x
Таким образом, функция имеет единственную стационарную
точку 0)(0,
0
М .
Найдём частные производные 2–го порядка:
3
2
2
6xy
x
z
=
∂
∂
,
22
2
9 yx
yx
z
=
∂∂
∂
,
3
2
2
6yx
y
z
=
∂
∂
.
Откуда в точке
0
М (0, 0) имеем, что 0
11
=a , 0
12
=a , 0
22
=a и
D = 0.
Так как существование или отсутствие экстремума не установ-
лено, проведём дополнительные исследования. Рассмотрим некоторую
окрестность точки
0
М (0, 0).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
