Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

90
5.6. Достаточные условия экстремума
для функции п переменных
Достаточные условия экстремума для функции n переменных
сформулированы в следующей теореме.
Теорема 5.6.1. Пусть функция
()
n
xxxfu ,,,
21
K= дифферен-
цируема в окрестности точки
0
М , и дважды дифференцируема в
точке
0
М , причём
0
М – стационарная точка функции. Тогда, если:
1)
()
0
2
Mud – положительно определённая квадратичная
форма, то функция u
= f(M) имеет минимум в точке
0
М ;
2)
()
0
2
Mud – отрицательно определённая квадратичная
форма, то функция u
= f(M) имеет максимум в точке
0
М ;
3)
()
0
2
Mud – знакопеременная квадратичная форма, тогда ло-
кальный экстремум в точке
0
М отсутствует;
4)
()
0
0
2
=Mud, тогда функция u = f(M) в точке
0
М может
как иметь экстремум, так и не иметь его.
Исследование знака квадратичной формы проводится на осно-
вании критерия Сильвестра, а именно:
1) для того, чтобы квадратичная форма была положительно
определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные (угловые)
миноры её матрицы были положительны
;
2) для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно
определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных (уг-
ловых) миноров её матрицы чередовались следующим образом
:
0
1
<δ , 0
2
>δ , ….
Пример 5.6.1. Найти точки локального экстремума функции
16422
222
+−+−++= zyxzyxu .
Сначала найдём стационарные точки из системы
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,0
,0
,0
z
u
y
u
x
u
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
=−
,062
,044
,022
z
y
x
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
=
.3
,1
,1
z
y
x
Следовательно данная функция имеет единственную стацио-
нарную точку
0
M (1, −1, 3).
Найдём все частные производные 2-го порядка в точке
0
М :

Страницы