Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

93
Полученную функцию можно исследовать на безусловный экс-
тремум.
Пример 5.7.1. Исследовать на экстремум функцию
22
yxz +=
при условии
4
=
+ yx
.
Разрешим уравнение связи относительно одной из переменных,
например, относительно
у :
xy
−
=
4
.
При найденном значении
у функция z становится функцией од-
ной переменной:
(
)
16824
22
2
+−=+−= xxxxz .
Исследуем эту функцию на экстремум. Так как
84 −=
′
xz , то
х = 2 есть стационарная точка. Кроме того,
(
)
042 >=
′′
z и это значит,
что при 2=x функция имеет минимум, т. е. z = 8 есть минимальное
значение функции
22
yxz += при условии x + y = 4. Достигается ус-
ловный минимум в точке (2, 2).
Существует другой метод отыскания условного экстремума –
метод Лагранжа.
Если u = f(x
1
, x
2
, …, x
n
) – заданная функция и F
1
(x
1
, x
2
, …, x
n
) = 0,
(
)
ki ,1= − условия связи, то задача об условном экстремуме функ-
ции f(M) эквивалентна задаче об экстремуме функции Лагранжа
)(...)()()()(
2211
MFMFMFMfM
kk
λ++λ+λ+=φ ,
(
k
λλλ ,,,
21
K – произвольные числа), т. к. при выполнении условий
связи φ(M) = f(M).
Теорема 5.7.1 (необходимый признак Лагранжа условного
экстремума).
Пусть выполняются два условия:
1) дифференцируемая в точке M
0
функция u = f(M) имеет в
этой точке условный экстремум при условиях связи
F
i
(x
1
, x
2
, …, x
n
) = 0,
(
)
ki ,1= ;
2) уравнения связи в некоторой окрестности точки M
0
удовле-
творяют условиям теоремы существования неявных функций
)..,,.,(
21 nkkii
xxxxx
−+
= .
Тогда существуют числа λ
1
, λ
2
, …, λ
n
такие, что все частные
производные функции Лагранжа в точке M
0
равны нулю.
Таким образом, для отыскания точки возможного экстремума
нужно решить систему n + k уравнений

Страницы