Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Подскребко Э.Н - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

94
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=αλλλ
==
α
∂
φ∂
nxxx
kixxxF
kn
ni
x
,1),,...,,,,,(
;,1,0),...,,(
2121
21
K
относительно x
1
, x
2
, …, x
n
, λ
1
, λ
2
, …, λ
k
Пример 5.7.2. Составить функцию Лагранжа и найти точки
возможного экстремума функции z = xy при условии x
2
+ y
2
= 1.
Составим функцию Лагранжа φ(x, y, λ) = xy + λ(x
2
+ y
2
− 1) и
систему уравнений для отыскания точки возможного условного экс-
тремума
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=λ+≡
=λ+≡
=−+
∂
φ∂
∂
φ∂
.02
,02
,01
22
yx
xy
yx
y
x
Решая эту систему, находим стационарные точки:
• при
2
1
=λ :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
2
1
2
2
2
2
,,
1
M ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
2
1
2
2
2
2
,,
2
M ;
• при
2
1
−=λ :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
2
2
2
2
,,
3
M ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
2
1
2
2
2
2
,,
4
M .
Для установления характера экстремума рассматривается вто-
рой дифференциал функции Лагранжа в стационарной точке
βα
=βα
βα
∑
∂∂
φ∂
=φ dxdxM
xx
d
n
)(
0
1,
2
2
,
где
nkk
dxdxdx ...,,,
21 ++
– дифференциалы независимых переменных,
n
dxdxdx ...,,,
21
– дифференциалы неявных функций.
Если )(
0
2
Md φ – положительно определённая квадратичная
форма, то M
0
– точка условного минимума, если же отрицательно оп-
ределённая, то M
0
– точка условного максимума; если )(
0
2
Md φ
есть знакопеременная форма, то экстремум в точке M
0
отсутствует.
Продолжим решение примера.
Найдём
222
222 dydxdydxd λ++λ=φ .
Подставим
2
1
=λ , получим
0)(2
2222
>+=++=φ dydxdydxdydxd .

Страницы