ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
97
Альтернативы для выбора ответа 1 – 4, где:
1)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
2
3
2
3
,– точка условного минимума;
2)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
2
3
2
3
,– точка условного максимума;
3) точек экстремума нет;
4) достаточный признак условного экстремума ответа не даёт.
5.8. Наибольшее и наименьшее значения функции на множестве
В соответствии с теоремой Вейерштрасса о достижении непре-
рывной функцией своих точных границ всякая функция u = f(M), не-
прерывная в замкнутой ограниченной области, достигает на ней своих
наибольшего и наименьшего значений.
Эти значения достигаются либо в точке локального экстремума,
либо в граничной точке области.
Пример 5.8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции z = x
2
+ y
2
− 12 x + 16y в области, заданной неравенством
25
22
≤+ yx .
Сначала найдём стационарные точки функции из системы урав-
нений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+=
=−=
∂
∂
∂
∂
.0162
,0122
y
x
y
z
x
z
Решением системы является точка M
0
(6, −8), не принадлежащая
заданной области.
Теперь рассмотрим функцию на границе области, перейдя к па-
раметрическим уравнениям границы
⎩
⎨
⎧
π∈=
=
].2,0[,sin5
,cos5
tty
tx
Функция z = x
2
+ y
2
− 12 x + 16y в точках границы области при-
нимает вид
z = 25 − 60cost + 80sint, t ∈ [0, 2π],
и поставленная задача сводится к отысканию её наибольшего и наи-
меньшего значений на указанном отрезке.
Найдём стационарные точки функции из уравнения
0cos80sin60 =+=
′
ttz , t ∈ [0, 2π].
Откуда
3
4
tg −=t , π+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
nt
3
4
arctg .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
