Электричество и электромагнетизм. Полицинский Е.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15
Интеграл
S
dS
∫
равен площади сферы:
2
4
S
dS S r
π
=
=⋅⋅
∫
.
Тогда поток вектора
E
ur
равен:
2
2
00
4
4
qq
Ф r
r
π
π
εε
=
⋅⋅⋅ =
⋅⋅ ⋅
.
Таким образом, теорема доказана.
Напомним, что поток пропорционален числу силовых линий, про-
низывающих замкнутую поверхность. Если замкнутая поверхность от-
личается от сферы (см. рис. 14, пунктирная линия), то поток вектора
E
ur
не изменится, так как не изменяется число силовых линий, пронизы-
вающих эту поверхность.
Если внутри замкнутой поверхности находится не один заряд, а
несколько, то результирующая напряженность электрического поля на-
ходится по принципу суперпозиции. Тогда потоки и заряды складыва-
ются алгебраически, т. е. с учетом знаков и теорема Гаусса и формула
(17)
оказывается справедливой.
В случае непрерывного распределения зарядов теорему Гаусса
можно записать так:
1
00
1
n
i
i
n
SS V
Q
E
dS E dS dV
ρ
εε
=
===⋅
∑
∫∫ ∫
ur ur

, (18)
где ρ – объёмная плотность заряда.
Основные затруднения при использовании теоремы Гаусса связаны
с выбором замкнутой поверхности S. Чтобы их избежать, необходимо
придерживаться следующих рекомендаций:
1. Из соображений симметрии определяется направление вектора
E
r
в пространстве, окружающем заряженное тело.
2. Точка, в которой определяется вектор напряженности, должна
принадлежать замкнутой поверхности интегрирования
S.
3. Поверхность
S выбирают симметричной расположению зарядов, а
ее составные части (
S
i
) должны быть либо перпендикулярные, либо ка-
сательные к вектору напряженности (
S
j
).
В этом случае поток вектора напряженности через замкнутую по-
верхность можно представить как сумму поверхностных интегралов
cos б cosб
ij
iij j
ij
SS S
EdS E dS E dS⋅= ⋅⋅ + ⋅⋅
∑∑
∫∫ ∫
r
,
здесь вторая сумма равна нулю (
бр2
j
, cosб 0
j
=
), а первая – преоб-
разуется к виду
cos б
ii i
i
ES⋅
∑
, где б 0 или р
i
.

Страницы