Механические и электромагнитные колебания и волны. Полицинский Е.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ Полицинский Е.В.
(
Механические
и
электромагнитные
колебания
и
волны
)
16
Если обозначить через x линейное смещение маятника от положе-
ния равновесия по дуге окружности радиуса
l, то его угловое смещение
будет равно φ =
x / l. Второй закон Ньютона, записанный для проекций
векторов ускорения и силы на направление касательной, дает
sin
x
m a F m g
l
τ τ
⋅ = = − ⋅
(21).
Это соотношение показывает, что математический маятник пред-
ставляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящая-
ся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не сме-
щению
x, а
sin
x
l
Только в случае малых колебаний, когда приближенно
sin
x
l
мож-
но заменить на
x
l
, математический маятник является гармоническим
осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические
колебания. Практически такое приближение справедливо для углов по-
рядка 15–20°; при этом величина
sin
x
l
отличается от
x
l
не более чем на
2 %. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармо-
ническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон
Ньютона записывается в виде
m a m x
l
τ
⋅ = − ⋅ ⋅
(22).
Таким образом, тангенциальное ускорение
a
τ
маятника пропор-
ционально его смещению
x, взятому с обратным знаком. Это как раз то
условие, при котором система является гармоническим осциллятором.
По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные
гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности
между ускорением и смещением из положения равновесия равен квад-
рату круговой частоты
2
0 0
;
g g
l l
ω ω
= =
(23).
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний
математического маятника.
Следовательно,
0
2
2
l
T
g
π
π
ω
⋅
= = ⋅
(24).

Страницы