Механические и электромагнитные колебания и волны. Полицинский Е.В. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

КОНСПЕКТЫ
ЛЕКЦИЙ
Полицинский
Е
.
В
.
(
Механические
и
электромагнитные
колебания
и
волны
)
51
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать,
что уравнение сферической волны – волны, волновые поверхности
которой имеют вид концентрических сфер, записывается как
( ) ( )
0
0
, cos
A
r t t k r
r
ξ ω ϕ
= ⋅ − ⋅ +
(124),
где
r – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В
случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, ам-
плитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по
закону
1/r. Уравнение (124) справедливо лишь для r, значительно пре-
вышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно счи-
тать точечным).
Из выражения (119) вытекает, что фазовая скорость
/
k
υ ω
=
(125).
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это
явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается
дисперсия волн, называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем
случае описывается волновым уравнением – дифференциальным урав-
нением в частных производных
2 2 2 2
1
x y z t
ξ ξ ξ ξ
υ
∂ ∂ ∂ ∂
+ + = ⋅
∂ ∂ ∂ ∂
или
2
2
1
t
ξ
ξ
υ
∂
= ⋅
∂
△
(126).
где
υ
– фазовая скорость,
2 2 2
2 2 2
x y z
ξ ξ ξ
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
△
– оператор Лапласа. Решени-
ем уравнения (126) является уравнение любой волны. Соответствующей
подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют,
в частности, плоская волна и сферическая волна. Для плоской волны,
распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
2 2
2 2
1
x t
ξ ξ
υ
∂ ∂
= ⋅
∂ ∂
(127).
Решение этого уравнения – уравнение плоской волны
(
)
(
)
0
, cosx t A t kx
ξ ω ϕ
= − +
.
2.1.3. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
Если среда, в которой распространяется одновременно несколько
волн, линейна, то есть её свойства не изменяются под действием воз-
мущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпо-

Страницы