Механика, молекулярная физика и термодинамика. Полицинский Е.В. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

КОНСПЕКТ
ЛЕКЦИЙ
(
Механика
,
МКТ
,
термодинамика
)
Полицинский
Е
.
В
.
75
2
J r dV
ρ
= ⋅
∫
(135).
Интегралы берутся по всему объёму тела, причём величины
ρ
и
r
являются функциями точки (например, декартовых координат
,
x y
и
z
).
Найдем момент инерции однородного диска относительно оси,
перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр
(рис. 71). Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Объем такого
слоя равен V = b·2·
π
·rdr, где b – толщина диска, r – радиус кольцевого
слоя.
Поскольку диск однороден, то ρ=сonst и
2 2
0
2
R
ρ ρ π
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫ ∫
;
Для нахождения момента инерции диска относительно оси, не про-
ходящей через его центр (рис.72) нужно воспользоваться теоремой
Штейнера.
Теорема Штейнера
Момент инерции тела J относительно любой оси вращения ра-
вен моменту инерции J
C
относительно параллельной оси, проходя-
щей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m
тела на квадрат расстояния а между осями.
dr
b
Рис. 71. Однородный диск
4
3
0
2
2
2
2 ;
4
,
2
R
b R
J b r dr
R
J R b
π ρ
π ρ
ρ π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∫
Произведение
2
R b V m
ρ π ρ
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
,
поэтому момент инерции диска
относительно оси, перпендику-
лярной к плоскости и проходя-
щий через его центр будет равен
2
2
m R
J
⋅
=
(136).
а
О
/
О
Рис. 72. К определению момента
инерции диска относительно оси
ОО
/
2
C
J J m a
= + ⋅
(137).
В соответствии с этой тео-
ремой, момент инерции диска от-
носительно оси О′О′ равен
2
2 2
3
2 2
m R
J m R m R
⋅
= + ⋅ = ⋅ ⋅
(137
*
).
О
/
О
Z

Страницы